陕西省西安市新城区2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 版含解析

这是一份陕西省西安市新城区2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 版含解析，共16页。
1．本试题共 4 页，满分 120 分，时间 100 分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共 47 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的知识确定正确选项.
详解】∵集合 ， ，
∴ .
故选：D
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识来确定正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
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注意到要否定结论而不是否定条件，
所以命题“ ”的否定是：
.
故选：B
3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象
的特征．函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】 ，所以 BD 选项错误.
，所以 C 选项错误.
故选：A
4. 将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后，所得函数图
象的解析式可能为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案.
【详解】将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度，
得到函数图象解析式： ，
再向下平移 1 个单位长度后，
得到函数图象解析式： .
故选：D.
5. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由不等式的性质可知由 ，
由 ，
故选：A
6. 某工厂产生的废气经过循环滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： ）与时间 （单位：
）间的关系为 （ 是自然对数的底数， ， 为正的常数）．若前 12 消除了 的污染物，
则 24 后的污染物含量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知条件“前 消除了 的污染物”求出 的值，再将 代入关系式求出 后
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的污染物含量
【详解】已知过滤过程中废气的污染物含量 与时间 之间的关系为 ，
当 时，因为前 消除了 的污染物，
所以此时剩余的污染物含量为 ，即 ，
将 ， 代入 可得：
两边同时除以 （ ），得到 ，
对等式两边取自然对数可得： ，解出 ，
将 ， 代入 可得：
所以 后的污染物含量约为 .
故选：C
7. 若函数 在区间 上不具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】讨论两种情况， 时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间 上不具有单调性，可
判断对称轴在区间 上，进而得到答案.
【详解】 时， 在 上递减，不合题意；
时，函数 图象的对称轴为直线 ，
因为函数 在区间 上不具有单调性，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
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故选：A.
8. 设 ，用 表示不超过 的最大整数，例如， ， ．我们把 称为取整函
数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确
的是（ ）
A. B. 函数 是偶函数
C. 函数 的最小值为 0 D. ，若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据取整函数 的定义，对每个选项逐一进行分析判断，从而确定正确答案.
【详解】选项 A：
因为 ，根据取整函数 表示不超过 的最大整数，
所以 ，而不是 ，A 选项错误.
选项 B：
函数 的定义域为 ，关于原点对称， ，
例如 时， ，
；
，所以 不是偶函数，B 选项错误.
选项 C：
设 ，当 时， ，则 ，此时 ，
所以 的值域是 ，其最小值为 ，C 选项正确，
选项 D：
若 ，设 ， ， ， ，
那么 ，所以 ，所以不存在 ，
使得当 时， ，D 选项错误.
故选：C
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【点睛】方法点睛
对于涉及取整函数的题目，关键是要准确理解取整函数 的定义，即不超过 的最大整数，研究函数的性
质（如奇偶性、最值等）时，要根据函数的表达式，结合定义进行分析，对于奇偶性，要判断 与
的关系；对于最值，要先确定函数的取值范围.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，且 ，则下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据指数幂运算以及对数的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于选项 A： ，故 A 错误；
对于选项 B： ，故 B 正确；
对于选项 C： ，故 C 错误；
对于选项 D： ，故 D 正确；
故选：BD.
10. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 若 在 上单调递增，则当 时，
D. 若 在 上单调递减，则当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断 AB；根据奇函数的图象关于原点对称判断 C；根据偶函数的图象
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关于 对称判断 D.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，
所以 ， .
A. 设 ，则 ，所以 是奇函
数，故正确；
B. 设 ，则 ，所以 不
是偶函数，故错误；
C. 因为函数 是定义在 上的奇函数，所以其图象关于原点对称，若 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，当 时， ，正确；
D. 因为 是定义在 上的偶函数，所以其图象关于 轴对称，若 在 上单调递减，则
在 上单调递增，当 时， ，正确.
故选：ACD.
11 已知函数 ，则（ ）
A. 存在点 ，使得 的图象关于点 中心对称
B. 的一个周期为
C. 的值域为
D. 在 内有且仅有 2 零点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】选项 A：
若函数 的图象关于点 中心对称，则有 恒成立.
对于 ， ，
所以函数 是偶函数，其图象关于 轴对称.
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假设存在点 使得 的图象关于点 中心对称，
，
若 ， 的值不恒为常数，
所以不存在点 ，使得 的图象关于点 中心对称，A 选项错误.
选项 B：
若 是函数 的周期，则 恒成立.
，所以 是 的
一个周期，B 选项正确.
选项 C：
因为 ，那么 .
令 ，函数 在 上的值域是 ，因为 ，
所以 的值域是 ，不是 ，C 选项错误.
选项 D：
令 ，则 ，即 .
当 时， .
对于 ，当 时， ，
在 单调递增，在 单调递减，所以 在 内有 个解.
当 取其他整数时， .
所以 在 内有且仅有 个零点，D 选项正确.
故选：BD
【点睛】思路点睛：
遇到判断函数性质的问题，先明确函数的类型（如本题是三角函数相关的复合函数），然后根据三角函数的
基本性质（对称性、周期性、值域、零点等）的定义和相关结论进行分析,对于复合函数，要注意内外层函
数之间的关系和相互影响.
第Ⅱ卷（非选择题 共 73 分）
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分．
12. 函数 的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式 ,即得解.
【详解】解：由题意得 .
解得 .
故答案为：
13. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】由乘“1”法即可求解；
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为 1，
故答案为：1
14. 若函数 在定义域内存在单调区间，且其图象的两条对称轴分别为直线 和 ，则 的
一个解析式可以是 ________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据给定条件，可得函数 是周期函数，确定函数的一个周期写出解析式.
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【详解】依题意，函数 是周期函数，它的一个周期是 ，
又函数 在定义域内存在单调区间，可选该函数为余弦型函数，令 ，
显然 ，直线 和 是 图象的对称轴，符合题意.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 ，且 是第二象限角．
（1）求 和 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
（2）根据诱导公式来求得正确答案.
小问 1 详解】
，且 是第二象限角，
，
．
【小问 2 详解】
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．
16. 已知幂函数 在区间 上单调递增．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得 的值，从而求得 的解析式.
（2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
是幂函数，
，解得 或 ，
又幂函数 在区间 上单调递增，
，即 ．
【小问 2 详解】
）易知 在 上单调递增，
又 ，
，即 ，
解得 ，
实数 的取值范围为 ．
17. 已知函数 （ ，且 ）
（1）求函数 定义域；
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（2）若函数 在区间 上的最大值为 2，求实数 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得正确答案.
（2）化简 的解析式，对 进行分类讨论，根据最值列方程来求得 的值.
【小问 1 详解】
要使函数 的解析式有意义，
则
解得 ，
函数 的定义域为 ．
【小问 2 详解】
，
当 时， ，
当 时，函数 在 上单调递减，
此时 ，
，即 ，解得 （舍）．
当 时，函数 在 上单调递增，
此时 ，
，即 ，解得 或 （舍）．
综上，实数 的值为 ．
18. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
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（2）讨论函数 在区间 上的单调性；
（3）当 时，求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2） 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式和余弦的两角差公式化简 ，再根据周期公式求解即可；
（2）根据余弦函数的图象和性质求解即可；
（3）令 解得 或 ，结合（2）中单调性即可求解.
【小问 1 详解】
由题意
，
函数 的最小正周期为 ．
【小问 2 详解】
因为函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
由 ，解得 ，
当 时， ，
由 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
【小问 3 详解】
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令 ，
解得 或 ，
即 或 ，
当 时，方程 的解为 或 ，
结合（2）中单调性的结论知，当 时， ，
所以当 时，不等式 的解集为 ．
19. 若在函数 的定义域内存在 ，使得 成立，则称 具有性质 ．
（1）试判断函数 是否具有性质 ；
（2）证明：函数 具有性质 ；
（3）若函数 具有性质 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 不具有性质
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据性质 的定义判断即可；
（2）函数 ，根据性质 的定义证明即可；
（3）由已知可得 ，令 ，则问题转化为
存在 的根，计算求解即可得出解.
【小问 1 详解】
假设函数 具有性质 ，
则存 ，使得 ，
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即 ，即 ，显然不成立，
假设不成立，即 不具有性质 ．
【小问 2 详解】
证明： ，
， ， ，
令 ，得 ，
即 ，即 ，
又函数 的定义域为 ， ，
函数 具有性质 ．
【小问 3 详解】
函数 的定义域为 ，且具有性质 ，
，
即 ，
令 ，则 ，
，
，
解得 或 ，
当方程有一个正根时，即 ， 即 ， 此时 ．
当方程有两个正根时，当 ，即 时， 此时 ．
实数 的取值范围为
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