江苏省盐城市阜宁县2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市阜宁县2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则用列举法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，，即，
又，∴，故.
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以或，解得或，
所以不等式的解集为或；
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为或；
因为或是或的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，且，解得，
所以.
故选：D.
4. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由图可知函数的周期，
故；
又由图象和函数解析式知函数过点，求得：，，
解得，，又，故可得：，
故，满足，
则.
故选：D.
5. 已知的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，
而函数的值域为R，因此函数在上的取值集合包含，
当时，函数在上的值为常数，不符合要求，
当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，
于是得，函数在上单调递增，取值集合是，
则，解得，所以实数的取值范围是.
故选：A.
6. 定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意是函数的对称轴，在上是增函数，
所以在上是减函数，
又，所以，
所以当时，，满足，
当时，，，也满足，
所以不等式的解集为.
故选：D.
7. 已知函数，若有四个不同的解且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，画出y=fx与的图象，
因为方程有四个不同的解，且，
即与有四个交点，所以，
由图可知，
又，关于对称，即，
又，且，即，
则，所以，则，
所以，且，
令，，
因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
所以，即的最小值为.
故选：B．
8. 已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象与函数且的图象关于直线对称，
与互为反函数，
，
令，函数可化为，对称轴为直线.
当时，为增函数，
若在区间上单调递增，
则在上单调递增，，解得，不合题意，舍去.
当时，为减函数，
若在区间上单调递增，
则在上单调递减，，解得.
综上得，的取值范围是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A.
B. 在区间有两个零点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 在区间单调递增
【答案】ABD
【解析】对于A，代入点，得，
，，，故A正确；
对于B，由，
，所以或，
所以该函数在区间有两个零点，故B正确；
对于C，代入，，故C错误；
对于D，处于正弦函数的递增区间内，故D正确．
故选：ABD.
10. 有下列几个命题，其中错误的命题是（ ）
A. 已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为
B. 若
C. 函数的单调递增区间是
D. 已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则
【答案】AC
【解析】对选项A：扇形面积为，错误；
对选项B：，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项C：当时，，不满足定义域，错误；
对选项D：当时，函数单调递减，的图像关于对称，
则，故，正确.
故选：AC.
11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 是奇函数B. 在上单调递增
C. D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】选项A，令，则，则；
令，则，
所以，所以不奇函数，A选项错误；
选项B，，，且，
因为，所以；
又因为当时，，所以，所以，
故在R上的单调递增，B选项正确；
选项C，令，则有，
所以，，，…，，
将以上式子相加可得：，C选项正确；
选项D，因为，
所以原不等式可化为；
由选项C可知，所以原不等式可化为；
因为在R上单调递增，所以，解得，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的对称中心为_______．
【答案】（）
【解析】令，解得，
所以函数的对称中心为.
13. 已知正实数，满足方程，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】令，明显其在上单调递增，
又由得，
即，
所以，即，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由，可得：，
又因为是定义在R上的偶函数，
则，且函数图象关于轴对称，
所以，即的周期为4，
作出函数在上的图象，
根据对称性及周期为4，可得出在上的图象：
令，
若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，
至多有3个不同的实数根，
则函数与函数在上至少有2个不同的交点，
至多有3个不同的交点，
所以，即，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）求的值；
（2）求值：.
解：（1）因为，所以，
即，
即，所以，
又x∈0，π，则，所以，所以，
所以，
则
，
所以，，
则．
（2）因为，
所以.
16. 已知（），对任意都有．
（1）求的值；
（2）若当时方程fx+m=0有唯一实根，求的范围．
解：（1）对任意都有，
则函数的图象关于直线对称，
所以，，而，则，，所以．
（2），当时，设，
在为增函数，在为减函数，
所以方程fx+m=0有唯一实根，
等价于与的图象有一个交点，
由图象可知或，所以或，
所以的范围是．
17. 已知函数（，）为偶函数．
（1）证明：；
（2）当时，证明的单调性；
（3）解关于的不等式．
解：（1）由题意知，函数为偶函数，则f-x=fx，
得，
即对于恒成立，所以．
所以，即证．
（2）由，得f0=a+b>0，
又由（1）知，∴，，
任取，
，
因为，所以，，
∴，得，即，
又因为，故，即，
所以函数在0，+∞上单调递增，
因为函数为偶函数，所以在上单调递减.
（3）因为偶函数在0，+∞上单调递增，且，
所以2x>12x-2x，
又因为，所以，即，解得，
故原不等式的解集为．
18. 已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；
（3）若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由．
解：（1）由得，得，，
所以不等式的解集为.
（2）在上有实数解，
在上有实数解，
因为在上是单调递增函数，
故，
则，即，
解得或.
（3）由知，在区间上是增函数，
对任意划分，
均有，
++
，
所以此和式为定值1.
19. 已知函数满足，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围．
解：（1）因为①，
则②，
故联立上述方程，解得.
（2）由（1）知，，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，所以，而在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以，
所以的取值范围是.
（3）方程等价于，
即，，
令，则方程化为，（），
因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个，
所以，（）有两个不同的正根、，
记，
所以，解得，
所以．