安徽省卓越县中联盟2025届高三下学期高考模拟份检测数学试题（解析版）

这是一份安徽省卓越县中联盟2025届高三下学期高考模拟份检测数学试题（解析版），共4页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，故．
故选：B.
2. 已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意；
当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意；
当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是．
故选：A.
3. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】易知的定义域为，且是奇函数，
则对任意均成立，
，
即
解得．
故选：D.
4. 已知复数满足，则（ ）
A. 有最小值2B. 有最大值2C. 有最小值D. 有最大值
【答案】C
【解析】设，由，
则，所以，
解得，所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，无最大值．
故选：C
5. 设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】设点，，则，
因为在椭圆上，所以，则，
将代入，得，
当时，取得最小值，即取得最小值．
故选：C.
6. 已知为第一象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，可得，
解得，
又因为为第一象限角，所以，
故．
故选：D
7. 已知正三棱柱的表面积为，则其体积的最大值为（ ）.
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，则其表面积，
整理得，则该正三棱柱的体积，
将V看作关于a的函数，则，
令，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故是的极大值点，则该正三棱柱的体积的最大值为．
故选：A.
8. 记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为．
当为奇数时，若，则仍然为奇数，
当为偶数时，若或3，则为奇数，从而，
即，即，整理可得．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，
所以．故是奇数的概率为．
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则（ ）
A 变量x，y负相关
B. 剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大
C. 新回归直线经过点
D. 新回归直线的斜率是
【答案】ABD
【解析】对于A，由回归直线的斜率为，可知变量x，y负相关，故A正确；
对于B，剔除异常点后，拟合精度变好，故样本相关系数的绝对值变大，故B正确；
对于C，因为原回归直线方程为，且，
所以，
则剔除异常点后，，，
故新回归直线经过点，故C错误；
对于D，因为新回归直线经过点和，
所以新回归直线的斜率为，故D正确．
10. 在中，，，，则（ ）
A. B.
C. 的面积为D.
【答案】ACD
【解析】对于A，设AC，BC的中点分别为E，F，的重心为G，
由，，得，
，由，得，
则，，A正确；
对于B，由，，得，，
在中，由余弦定理得，解得，
则，因此，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，设AB的中点为M，则，
而，则，D正确.
故选：ACD
11. 波兰表达式（Plish ntatin）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：．
A. 波兰表达式“”的值为108
B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是
C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则
D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4
【答案】BD
【解析】对于A，波兰表达式“”，即，故A错误；
对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于，
因为函数在上单调递增，且为其零点，
所以所求x的取值范围是，故B正确；
对于C，波兰表达式“”表示的函数为，
则，又函数无极值，所以，则，
所以，当且仅当时等号成立，
又，故，则，，故C错误；
对于D，波兰表达式“”的值为等价于，
易知满足该等式，令，则，
易知有唯一解，
且在区间上单调递减，在上单调递增，
又，，，
由零点存在定理知，方程必存在另外一解，且，
所以x的所有取值之和大于4，故D正确．
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________．
【答案】
【解析】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为，
所以，即，故的方程为．
故答案为：．
13. 已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________．
【答案】30
【解析】由等差数列的性质可得，再由，，
可得，所以，则，解得．
故答案为：30.
14. 已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由可得，当时，不满足题意，
当时，方程两边同乘，
得，等价于，变形可得．
设函数，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0，
由知，只需满足或，
所以a的取值范围是．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数（，），圆:．
（1）若图象的两条相邻的对称轴均与圆相切，求，的值；
（2）若，且的图象与x轴的交点中恰有两个在圆的内部，求的取值范围．
解：（1）由题可知，图象的两条相邻的对称轴间的距离为，
由题可知圆的直径为3，所以，解得．
因为圆心的坐标为，所以图象的其中一条对称轴的方程为，
所以，解得，
因为，所以．
（2）由题可知，的零点满足，即．
因为圆上的点的横坐标的取值范围是，
所以原题等价于有且仅有2个不同的k值满足，
整理得，故只能取0，1两个值，
所以，解得的取值范围是．
16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，M为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：由题可知，又，，
平面，故平面，
又平面，故．
由题可知，，则，
因，所以，所以．
又，所以，即．
又，平面MCD，故平面MCD．

（2）解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，．
设平面的一个法向量为，
则即取，则．
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为．
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：．
（1）解：当时，，
则，
所以，又，
故曲线在点处切线方程为．
（2）证明：方法一：由题可得，
设，则，
令，则，
令，得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
于是，则，单调递增．
故单调递增，而，
故当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
故，综上，命题得证．
方法二：由题可得，
当时，，，，
所以，即在上单调递减，
当时，，，，
所以，即在上单调递增，
所以在处取得最小值，且．
因为，所以，所以，故．
18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品．
（1）若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率；
（2）若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值；
（3）已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？
解：（1）设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A，
则．
（2）设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B，
则，
令，得，当时，单调递增，
又当时，，当时，，
所以m的最小值为6．
（3）每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X，
依题意，X服从超几何分布，则．
设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元，
则，
所以．
函数的图象的对称轴方程为，
要使的值最小，应取．
19. 记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为．
（1）求点的坐标；
（2）证明：是递减数列；
（3）记的面积为，证明：．
（1）解：如图所示，联立，解得或，故.
又，所以，，故直线，
联立，解得或，故.
（2）证明：联立，解得点，
所以，，
所以.
又因为，故，于是，即，故是递增数列.
又由，可知是递减数列，于是是递减数列.
（3）证明：由（2）得，当时，，，
利用割补法，知
.
而，故.
而，故；
又，故，
由累乘法可知，
而，故.
故.
综上，.