陕西省西安市新城区2025届高三4月六模数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市新城区2025届高三4月六模数学试题（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，而，所以.
故选：B
2. 马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（ ）
A. 210公里B. 251公里C. 254公里D. 248公里
【答案】C
【解析】将小丽月份每个月的跑步里程从小到大排列：.
因为6，所以小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里.
故选：C.
3. 已知点在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由点在直线上，可得，解得，
则.
故选：C.
4. 若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，
所以，即，
解得．
故选：D.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，求导得，则，
所以所求切线方程为，即.
故选：B
6. 函数图象的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
又因为为奇函数，函数图象关于点对称，
所以图象的对称中心为．
故选：D
7. 已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】过点作垂直于直线，垂足为，
则，，
因为，所以，得．
因为是抛物线上一点，
所以，得，，
则|，，
因为圆与直线相切，故圆的半径为，
故圆的标准方程为．
故选：A.
8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．
正三棱柱的体积．
当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，最大值为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 定义在上的函数满足，，则（ ）
A. B.
C. D. 2为的一个周期
【答案】ACD
【解析】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. 在上单调递增D. 在上的值域为
【答案】BD
【解析】对于A：因为，故A错误．
对于B：函数的定义域为，
又，所以为偶函数，故B正确．
对于C：由，得，因为在上单调递减，
所以在上单调递减，故C错误．
对于D：由，得，所以，
故在上的值域为，故D正确．
故选：BD
11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ）
A. X的值可能为，，，B. 的值可能为，，，
C. 概率为D. 的概率为
【答案】ACD
【解析】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法.
X的值可能为，，，，A正确；
不妨设，
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
，，，.
，C正确；
又的值可能为，，，，B错误；
不妨设
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
，，，.
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数（）为正实数，则______．
【答案】2
【解析】由题意得3-a>0,a2-6a+8=0,解得．
故答案为：2.
13. 若等比数列的前20项积为，则______．
【答案】230
【解析】，
则．
故答案为：.
14. 双曲线左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________．
【答案】
【解析】由题可知，点P在第四象限，．
设．由，求得．
因为，所以，求得，即．
由正弦定理可得．
设，得．
由，得，则，，
又，解得．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
解：（1）依题意可得，
得.
因为，所以，
则，
因为，所以，所以
（2）由题意得，
解得（负根已舍去）.
因为，所以，
所以由余弦定理可得.
16. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，求；
（3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积．
解：（1）椭圆的长半轴长为，短半轴长为2，半焦距为，
依题意，椭圆的焦点在轴上，其长半轴长，半焦距，则短半轴长，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由消去并整理得，设，
则，所以.
（3）由（1）知，，由四边形是矩形，得，
则，而，
所以四边形的面积.
17. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．
（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训．
①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率；
②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率．
参考公式与数据：，其中．
解：（1）
列联表如下：
单位：人
零假设学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时无关，
根据表格中的数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关，此推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）①设事件“学生甲参加培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，
短跑成绩不合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，
则，
于是,
所以学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为.
②学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为：
.
18. 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）当时，讨论的单调区间；
（3）若，，求的取值范围．
解：（1）的定义域为，
故，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；
（2），，定义域为，
，
故的单调递减区间为，无递增区间；
（3），，即，
所以，
其中，令，则，
，
若，则，其中在恒成立，
故在上单调递增，
所以，即，
令，，则，
故在上单调递增，
故，即，所以，与取交集，故，
若，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且时，恒成立，时，恒成立，
所以，满足要求，
综上，
19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
（1）求点的坐标.
（2）若平面，证明：平面平面.
（3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
（1）解 ：连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以
（2）证明：连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量.
因为，所以.
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面.
（3）解：①当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
则，
同理可得当时，.
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为.
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为.
③易得平面的一个法向量为.
因为，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
跑步里程
310
254
220
210
248
300
每周的锻炼时间
短跑成绩
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计
001
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
每周的锻炼时间
短跑成绩
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
35
10
45
每周的锻炼时间不超过5小时
25
30
55
合计
60
40
100