2024-2025学年浙江省强基联盟高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省强基联盟高二下学期5月联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x0)反射后必过另一焦点F2.椭圆C的中心在原点，法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，焦点F1(−1,0)，F2(1,0)，由F1发出的光线经椭圆反射后至F2的路径长为4.任取椭圆C上非长轴端点P，其切线为l，F1在l上的射影为点H．
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明：|OH|为定值;
(3)已知切线l与直线x=−a，x=a相交于A，B两点，x轴上是否存在定点Q，使得以AB为直径的圆过点Q，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
对三元正整数数列A=(a1,a2,a3)，定义T变换为：T(A)=(|a1−a2|,|a2−a3|,|a3−a1|)，持续操作直至数列全零时终止．
(1)写出数列A=(2,6,4)经过5次“T变换”后得到的数列;
(2)设初始数列(a,a+3,3)(a>20)，求经过6次“T变换”后得到的最终数列，并判断最终数列与初始数列是否有结构上的关联;
(3)设数列(400,2,403)经过k次“T变换”后得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.B
6.B
7.C
8.D
9.BCD
10.CD
11.ACD
12.24π
13.25 34
14.π3
15.解：(1)根据频率之和等于1可得，
5×0.01+0.06+0.07+a+0.02=1，解得a=0.04；
(2)由频率分布图可知，
电池续航时间不少于35小时的频率等于0.04+0.02×5=0.3，
所以电池续航时间不少于35小时的电池有50×0.3=15组，
电池续航时间少于35小时的电池有50×0.7=35组，
所以从抽取的50组电池中任取3组，
恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为C352C151C503=35×342×1550×49×483×2×1=51112．；
(3)由(2)知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于310，
由题可知，随机变量X服从二项分布，所以X∼B(3,310)，
所以X所有可能的取值有0，1，2，3
所以P(X=0)=C30(710)3(310)0=3431000，
P(X=1)=C31(710)2(310)1=4411000，
P(X=2)=C32(710)1(310)2=1891000，
P(X= 3) =C33(710)0(310)3=271000，
所以X的分布列如下，
所以X的数学期望为E(X)=0×3431000+1×4411000+2×1891000+3×271000=0.9．
16.解：(1)∵f′(x)=ex−a，x∈R，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)无极值，
当a>0时，由f′(x)=ex−a=0，得x=lna，
当x0，
所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(lna)=a−alna−1=0，
解得a=1．
(2)由f(x)≥g(x)可得ex−ax−1≥xlnx，
因为x>0(lnx中x的定义域为x>0)，
移项可得a⩽ex−xln x−1x在(0,+∞)上恒成立．
设ℎ(x)=ex−xlnx−1x(x>0)，
则a⩽ℎ(x)min，
求导ℎ′(x)=ex(x−1)+1−xx2=(x−1)(ex−1)x2，
令ℎ′(x)=0，即(x−1)(ex−1)x2=0，
因为x2>0，ex−1>0(x>0时)，
所以x−1=0，
解得x=1，
当00，
则ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
由单调性可知ℎ(x)在x=1处取得最小值，ℎ(1)=e1−1×ln1−11=e−1，
所以a的取值范围是(−∞,e−1]．
17.解：(1)由于三棱锥A−BCD的高AB=5，
所以当底面△BCD面积最大时，三棱锥的体积最大，
又BC是底面圆的一条直径，
所以当OD⊥BC时，底面△BCD的面积最大，
此时VA−BCD=13S△BCD⋅AB=13×12×5×52×5=12512，
即三棱锥A−BCD的体积最大值为12512．
(2)如图，以B为原点，BC所在直线为y轴，BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,5)，
设平面ABC的一个法向量为n=(1,0,0)，
记∠DBC=θ，
则D(5csθsinθ,5csθcsθ,0)，
所以AD=(5csθsinθ,5csθcsθ,−5)，
设直线AD与平面ABC所成角为α，
则sinα=|cs|=|AD⋅n||AD||n|
=|5csθsinθ| 25cs2θsin2θ+25cs2θcs2θ+25
=|5csθsinθ| 25cs2θ+25=|csθsinθ| cs2θ+1
= cs2θsin2θcs2θ+1= cs2θ(1−cs2θ)cs2θ+1
= 3−(cs2θ+1+2cs2θ+1)≤ 3−2 2= ( 2−1)2= 2−1，
当且仅当cs2θ+1= 2时等号成立，
故直线AD与平面ABC所成角正弦值的最大值为 2−1．
18.解：(1)根据题意，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，
所以椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，其中c=1，且c2=a2−b2，
又因为由F1发出的光线经椭圆一次反射后到F2经过的路程为4，
所以2a=4，a=2，
因此b= 3，
则椭圆方程为x24+y23=1；
(2)延长F1H，F2P交于点T，
则|OH|=12|F2T|=|F2P|+|F1P|2=2a2=a=2，
故|OH|为定值；
(3)设椭圆上点P(x0,y0)，其切线方程为：x0x4+y0y3=1，
切线与直线x=−2和x=2的交点分别为A(−2,3(1+x02)y0)和B(2,3(1−x02)y0)，
以AB为直径的圆的方程为：(x+2)(x−2)+(y−3(1+x02)y0)(y−3(1−x02)y0)=0，
若存在满足条件的定点Q，则可设Q(q,0)在圆上，
代入得：(q+2)(q−2)+(−3(1+x02)y0)(−3(1−x02)y0)=0，化简得：q2−4+9(1−x024)y02=0，
利用椭圆方程x024+y023=1，可得1−x024=y023，
因此：q2−4+9·y023y02=q2−4+3=0，即q2=1，
所以q=±1，
即Q的坐标为(−1,0)或(1,0)．
19.解：(1)由题知，5次变换后得到的数列依次为(4,2,2)→(2,0,2)→(2,2,0)→(0,2,2)→(2,0,2)，
所以数列A=(2,6,4)经过5次“T变换”后得到的数列为(2,0,2)．
(2)对于初始数列(a,a+3,3)(a>20)，6次“T变换”过程依次为：(3,a,a−3)→(a−3,3,a−6)→(a−6,a−9,3)→(3,a−12,a−9)→(a−15,3,a−12)→(a−18,a−15,3)，
所以该数列经过6次“T变换”后得到的结果为(a−18,a−15,3)，
最终数列与初始数列结构上一致，均为(n,n+3,3)型数列．
(3)数列(400,2,403)经过一次“T变换”后得到数列B=(398,401,3)，
其结构为(n,n+3,3)型数列，
依据(2)结论可知，数列B经过6次“T变换”后仍保持该结构，
其变化规律为：除数值3，其余两项各递减18，
∵398=18×22+2，故数列B经过6×22=132次“T变换”后得(2,5,3)，
随后实施变换所得数列依次为：(3,2,1)→(1,1,2)→(0,1,1)→(1,0,1)→(1,1,0)→(0,1,1)→(1,0,1)，
此时数列和最小值2已达成，后续变换进入循环周期，各项和不再递减，
故经1+132+3=136次“T变换”后数列各项和取得最小值，即k的最小值为136． X
0
1
2
3
P
3431000
4411000
1891000
271000