浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（学生版+教师版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 为虚数单位，则（ ）
A. B. iC. D. 1
5. 已知正数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 是3的倍数的概率为0.4B. 是3的倍数的概率为0.6
C. 是3的倍数的概率为0.2D. 是3的倍数的概率为0.8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
10. 已知，则下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 下列定义在上的函数中，满足的有（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为______．
13. 已知过椭圆右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．
14. 若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数在处切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
16. 已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．
（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；
（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．
17. 如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．
（1）求证：平面平面．
（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．
18. 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

（1）求抛物线的方程；
（2）求的最小值．
19. 对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．
（1）求和．
（2）求的前3项．
（3）存在，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数是增函数．
（ⅱ）求证：．