2025届天津市高三数学十二校联考仿真模拟试题（二模）含解析

这是一份2025届天津市高三数学十二校联考仿真模拟试题（二模）含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，，则 （ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，
的部分临界值如下表：
则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系
5．函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．在数列中，，，记为数列的前项和，则（ ）
A．0B．18C．10D．9
7．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．1D．0
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线的夹角为，过点作轴的垂线，交双曲线的左支于两点，若的面积为，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形.若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知为虚数单位，复数，则的虚部为 .
11．二项式的展开式中，x的系数为 .
12．已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 .
13．二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为 ；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为 .（“立春”是春季的六个节气之一.）
14．如图，已知直角三角形△中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，若与圆的切点为，则 ，则的取值范围为 .
15．已知函数.若存在实数，使得方程有6个不相等实数根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题）
16．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值.
17．如图，四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求正整数的值；
(3)记，求数列的前项和．
19．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．
(3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
20．已知函数，，．
(1)过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值；
(2)令，
（ⅰ）讨论的极值点个数；
（ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：．
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选A.
2．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
又因为不一定大于0，即不一定成立，
所以“”是“的不充分条件，
因为在上单调递增，
所以，即，所以“”是“的必要条件，
所以“”是“的必要不充分条件，
故选B．
3．【正确答案】B
【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得，
由正弦函数性质得，则，故B正确.
故选B.
4．【正确答案】A
【详解】对于A，根据标准差定义，一组数据的标准差时，
显然有故A正确；
对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等，如都为1和都为2的两组数据，
它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和，故B错误；
对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误；
对于D，，根据独立性检验原理，
在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量有关系，故D错误.
故选A.
5．【正确答案】A
【详解】由函数，定义域为，
有，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项；
又由，可排除C项，
所以函数的图象为选项A.
故选A.
6．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，
，，，，…，
故数列为周期数列，周期为4，
所以.
故选C.
7．【正确答案】C
【详解】观察函数图象，函数的最小正周期，解得，
由，得，又，则，
，将的图象向左平移个单位长度，
得的图象，因此，
所以.
故选C.
8．【正确答案】D
【详解】为双曲线的通径，，又，
；
两条渐近线的夹角为，渐近线的倾斜角为或，
又，，渐近线倾斜角为，即；
由得：，双曲线方程为.
故选D.
9．【正确答案】A
【详解】如图：
连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，
过O作OH⊥PE于H，易知PO⊥底面ABCD，
设，则，，
，
所以球M的球心是O，设半径为R，则，
半球O的半径为，则，
所以，
故.
故选A.
10．【正确答案】
【详解】因为，所以的虚部为.
11．【正确答案】20
【详解】的展开式的通项公式为:
，
由得，
则展开式中的系数为.
12．【正确答案】
【详解】由题意，联立，则，显然，
所以，故，
所以，以为直径的圆的圆心横坐标为3，半径为4，
故以为直径的圆被轴截得的弦长为.
13．【正确答案】 ；
【详解】从24个节气中任选2个节气的所有情况有种，
则两个节气恰好在同一季节的情况有,
故两个节气恰好在同一季节的概率为，
若已知选取的2个节气均属于春季有种情况，则其中包含“立春”的概率为.
14．【正确答案】
【详解】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，

则，且，由，
所以，解得，即圆的半径为，
则，所以；
设BC的中点为，
则，
又，，
所以，
所以的取值范围为.
15．【正确答案】
【详解】对于，，对其求导，，
易得，
故函数在单调递减，在单调递增，且．
当时，，如要满足题意，作出其大致图象需如图：
由题得，，．
∵函数的图象和直线有六个交点，
∴，，三点的高度应满足或，
即或．
显然，由三点高度知道，，
∴解不等式可得或，
综合得．
16．【正确答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）在中，由正弦定理
可得：，整理得，
由余弦定理，可得；
（2）（i）由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得，
由已知，可得，故有，
为锐角，可得，，
则；
（ii）由（i）可得，,
.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，．
【详解】（1）
取的中点，连接，因为是的中点，所以．
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，
所以平面．
（2）
由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，
又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，，
所以平面的法向量为，设平面的法向量为，
，由，
可得，令，则，
所以．
所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．
（3）设，且，，则，
设平面的法向量为，
则，可得，
令，所以．
因为点到平面的距离为，
所以，解得，
所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．
18．【正确答案】(1)，；
(2)4；
(3).
【详解】（1）依题意，，解得，则，
设数列的公比为q，因，，成等差数列，则，有，而，解得，，
所以数列和的通项公式分别为：，.
（2）由（1）知，，，，
依题意，，整理得，而，解得，
所以正整数n的值是4.
（3）由（1）知，
令数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，，
，
数列的前项和.
19．【正确答案】(1)
(2)时，为定值
(3)
【详解】（1）由题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
且，，
又，，
则
，
则，即时，此时为定值.
（3）由（2）知，，，直线l的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
20．【正确答案】(1)；
(2)（ⅰ）时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）设的切点为，又，
则，
由于过原点，所以，可得，所以切线的斜率为，
设的切点为故；
（2）（ⅰ）由题意有所以
令
当时，单调递增，此时无极值点，
当时，，则为单调递增函数，且，
故存在使得，所以在递减，在单调递增，故有一个极值点，
当时，令得，则为单调递增函数，且，
故存在使得，所以在递减，在单调递增，故，
当，，则为单调递增函数，无极值点，
时，，
令（），则，令，则，
当，故单调递增，故，
故单调递增，故，故（），
所以当，
所以，
故，使得，
所以在单调递增，在单调递减，故有两个极值点，
综上可得时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点；
（ⅱ）由（i）知，时，有一个负的极小值点，设为，
又在递减，在单调递增，即为的极小值点也是最小值点，
所以又，即，
所以，故无零点，不满足题意，
当时，有两个正数极值点，不妨设极大值点为，极小值点为，
由（i）可知，
在单调递增，在单调递减，
，
故时，，即在无零点，
先证明时，，
记（），则，，，
令，则，
当时，，此时单调递增，
故，故单调递增，
故，
故单调递增，
则
，
故时，，
所以，
又，故使得故有唯一的零点.
又，
所以，
令，
，，
当单调递增，当单调递减，所以，故，
所以
即在上为单调递增函数，故，
，又在为单调递增函数，所以，
综上：若为的极小值点，为的零点时，恒有.0.1
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635