福建省宁德市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省宁德市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，则.
故选：C.
2. “每个三角形的重心都在其内部”的否定是（ ）
A. 每个三角形的重心都在其外部
B. 每个三角形的重心都不在其内部
C. 至少有一个三角形的重心在其内部
D. 至少有一个三角形的重心不在其内部
【答案】D
【解析】 “每个三角形的重心都在其内部”的否定是“至少有一个三角形的重心不在其内部”.
故选：D
3. 幂函数是偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】C
【解析】因为是幂函数，
所以，即，解得或，
当时，可化为，
易知的定义域为，关于原点对称，且，
所以是偶函数，满足题意；
当时，可化为，
显然，故不是偶函数，不满足题意；
综上：.
故选：C.
4. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数，有，可得，
等价于，解得，
故函数的定义域为.
故选：A.
5. 若函数在区间上为增函数，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最小值为3D. 的最大值为3
【答案】C
【解析】由得，，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线,
由函数在区间上为增函数得，，解得，
所以的最小值为3且无最大值.
故选：C.
6. 已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
若，则，即；
若，则解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
7. 若函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意可得，解得.
故选：C
8. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以．
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
则，即的最小值是1．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 方程组的解集为
B. “四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件
C. 若，则的取值集合为
D. “”是存在量词命题
【答案】BCD
【解析】对于A，方程组的解集为，A错误；
对于B，梯形有一组对边平行，但有一组对边平行的四边形不一定是梯形，B正确；
对于C，当时，，由，得，C正确；
对于D，是存在量词命题，D正确的.
故选：BCD
10. 若与分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数，
所以，
所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称.
故选：AC.
11. 如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（ ）
A. 的面积为B.
C. 先增后减D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】取的中点，连接，则，且，
所以的面积为A正确.
过作，垂足为，设与交于点，
由等面积法可得，则.由，
得，
则，
所以，
则，则在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，B错误，C，D均正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国__________；（2）__________，__________.
【答案】①. ②. ③.
【解析】因为泰国属于亚洲，所以泰国；
因为表示有理数，不是有理数，是有理数，
所以，，
故答案为：，，.
13. 已知甲地下停车库收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为______．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为______．
【答案】①. 15 ②. 7
【解析】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库，
则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元；
设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元，
根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵，
当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠，
则，解得，
所以小林的停车时长最大值为7小时.
故答案为：15；7.
14. 已知函数，若与的单调性相同，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】当，即时，在上为增函数；
当，即时，在上为减函数.
当时，，
当，即时，在上为减函数；
当，即时，在上为增函数.
当a=2时，，x>0，
故当时，与的单调性相同，都为增函数.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
解：（1）令，得，
则.
故.
（2）由（1）得为二次函数，图象开口向上，对称轴为直线.
当时，取得最小值，且最小值为0.
∵，
∴的最大值为9.
∴在上的值域为.
16. （1）若为奇函数，当时，，求f1；
（2）用列举法表示集合：；
（3）求不等式组的解集.
解：（1）因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以f-1=2，所以.
（2）若，则，且，
因为，则，解得，
所以，；
（3）由，得，得或.
由，得，得.
故不等式组的解集为或.
17. （1）已知，，且，求的最大值；
（2）证明：、、，.
（1）解：因为，，且，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为；
（2）证明：因为、、都是正数，
由基本不等式可得，，，
由不等式的基本性质可得，
当且仅当时，等号成立.
故.
18. 已知函数，，
（1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减.
（2）当时，写出hx的单调区间.
（3）若hx在上为单调函数，求的取值范围.
（1）证明：当时，.
设是区间上任意两个实数，且，
则，
于是，由函数单调性的定义可知，函数在区间
上单调递减.
（2）解：当时，，
则由一次函数和二次函数的图象和性质可知，
的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
（3）解：由，解得或.
由题意得在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
因为在上为单调函数，所以在上为增函数，
所以，即的取值范围是.
19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，且为的偶点.
（1）求函数的偶点.
（2）若均为定义在上的“缺陷偶函数”，试举例说明可能是“缺陷偶函数”，也可能不是“缺陷偶函数”.
（3）对任意，函数都满足.
①比较与的大小；
②若是“缺陷偶函数”，求取值范围.
解：（1）由，得，
则，解得，
所以函数的偶点为.
（2）取，易证这两个函数均为定义在R上的“缺陷偶函数”，
则，为“缺陷偶函数”，且偶点为0，
所以可能“缺陷偶函数”.
取，易证这两个函数均为定义在R上“缺陷偶函数”，
则，因为，所以为偶函数，
所以可能不是“缺陷偶函数”.
（3）由题意得对任意恒成立，
所以存在常数，使得.
令，得，
解得.
.
②，设的偶点为，则由，
得，
即，
则，即，则的取值范围为.