福建省宁德市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题 含解析

这是一份福建省宁德市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了 已知，则， 记，设，则函数的最小值是， 定义在上的函数满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共19题.考试时间120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的.
1. 已知命题，则命题的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得答案.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得命题的否定是：.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的性质解不等式，利用集合间的关系确定选项.
【详解】由得，解得.
记集合，，
∵⫋，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（ ）
A. 减函数B. 增函数C. 偶函数D. 奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义可求出函数的解析式，即可判断函数的单调性与奇偶性.
【详解】设，则，解得，
∴，定义域为，为非奇非偶函数，
∵，∴在上为增函数.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例可说明选项A、B、C错误；作差法可证明选项D正确.
【详解】对于选项A、B、C，令，，，，满足.
，选项A错误.
，，选项B错误.
，选项C错误.
D.，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，选项D正确
故选：D.
5. 记，设，则函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分段函数的性质，依据题意写出分段函数的解析式，进而确定函数的单调性，得出函数的最小值.
【详解】由题可得，函数的解析式为，
令，解得或x=-1,
当或时，；当时，，
∴fx在上单调递减，在上单调递增，
∴fx的最小值为.
故选：B.
6. 已知函数的零点为a，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的单调性，确定零点的取值范围，即可得到的大小关系.
【详解】∵在R上为减函数，在R上为减函数，
∴函数在R上为减函数，
∵，，
∴，
∴，，
∴.
故选：C.
7. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可以排除选项A,B；利用函数的单调性可排除选项C.
【详解】根据图像可得函数关于原点对称，为奇函数，
对于选项A：为非奇非偶函数，故A错误；
对于选项B：为非奇非偶函数，故B错误；
对于选项C：在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误；
对于选项D：为奇函数，在区间上单调递增，故D正确；
故选：D
8. 定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】令得，令可得选项A错误；令得，可得选项B正确；根据可得选项C错误；令，由可得选项D错误.
【详解】令得，，即，
∵，∴不恒为0，∴，即.
A.令，则，
∴，即，
∵，∴，选项A错误.
B.令，则，∴，
令，则的定义域为，且，
∴是奇函数，选项B正确.
C.令，则，
由得，，
令，则，即，故，
由得，，∴不是偶函数，选项C错误.
D.令，则，，
由得不是减函数，选项D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过赋值求函数值，根据奇偶性及单调性的定义判断选项.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知函数y=fx用列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域与值域相同
B.
C. 若，则
D. 是减函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】由表格得选项A正确；根据函数定义域可得选项B错误；由条件得，解出可得选项C正确；根据表格数据可得选项D正确.
【详解】A.函数y=fx的定义域为，值域为，A正确.
B.由函数y=fx的定义域为可得选项B错误.
C.由得，，故，C正确.
D.由表格得，随的增大而减小，故在定义域上是减函数，D正确.
故选：ACD.
10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 若恒成立，则
D. 若在内有零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二次函数的性质，基本不等式，根的判别式和开口方向，零点存在定理及结合解不等式依次对每个选项进行分析求解．
【详解】A．当时，，选项正确；
B．当时，，则，
当时，，选项错误；
C．若恒成立，则，解得：，选项正确；
D．，要使得在内有零点，则，
即，解得：，选项正确；
故选：ACD．
11. 已知桌面上有一个周长为2的由铁丝围成的封闭图形，则（ ）
A. 当封闭曲线为半圆时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖
B. 当封闭曲线为正六边形时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖
C. 当封闭曲线为平行四边形时，用直径1的圆形纸片不可以完全覆盖
D. 当封闭曲线为三角形时，用直径为1的圆形纸片不可以完全覆盖
【答案】AB
【解析】
【分析】逐项分析各图形的外接圆半径或直径，与圆形纸片的直径比较即可确定正确选项.
【详解】A.设半圆半径为，则，解得，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖半圆，选项A正确.
B. 当封闭曲线为正六边形时，正六边形的边长为，正六边形外接圆的直径为，
故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正六边形，选项B正确.
C. 当封闭曲线为正方形时，正方形边长为，正方形的外接圆直径为，
故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正方形，
由正方形为平行四边形可得选项C错误.
D. 当封闭曲线为正三角形时，正三角形边长为，正三角形的外接圆半径为，
故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正三角形，选项D错误.
故选：AB.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.
12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形弧长及面积公式求解可得结果.
【详解】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
则，两式相除得，.
故答案为：.
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质及对数运算法则可得结果.
【详解】
故答案为：.
14. 已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点（A点位于B点的左侧），过A点作x轴的垂线交的图象于点C，若BC与x轴平行，则A点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，根据BC与x轴平行得，利用求出，即可得到A点的坐标.
【详解】
设，m>0，则，
由BC与x轴平行得，，
由得，，故，
由三点共线得，，
∴，即，解得，，
∴A点的坐标为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，化简集合，根据集合的基本运算可得结果.
（2）化简集合，利用集合间的关系可求的取值范围.
【小问1详解】
由得，，解得，
∴，
当时，，
∴.
【小问2详解】
当时，
∵，∴，
∴的取值范围为.
16. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示：
为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：
①，②，③.
（1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万.
【答案】（1）①，理由见解析
（2），第16个月
【解析】
【分析】（1）根据函数定义域以及指、对数函数的单调性特征分析判断；
（2）根据点，，求，即可得函数解析式，再根据函数解析式运算求解
【小问1详解】
最符合实际的函数模型为①，
根据表格知函数解析式需满足在上有定义，所以②不满足，
又随着月份增加，会员人数增加速度又会减慢，所以③不符合，
只有①同时满足上述两个特征，故最符合.
【小问2详解】
可选取表格中的两组数据为：，，
代入得
解得，即，
当时，，解得，，
所以，可预测第16个月，会员人数达到14万人.
17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于x轴的对称点为.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式可得结果.
（2）利用诱导公式及对称表示，根据齐次式或同角三角函数的基本关系可求的值.
【小问1详解】
由三角函数定义得，.
∵，为锐角，∴，
∴，，，，
∴.
【小问2详解】
解法一：由题意得，，，，，
∴，，
∵为锐角，∴，即，
∴，即，
∴，故，
∴，即，解得或.
解法二：由题意得，，，，，
∴，，
∵锐角，∴，即，
∵，∴或，
∴或.
18. 已知函数
（1）证明：为奇函数；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3），，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数
（3）
【解析】
【分析】（1）根据的定义域为R且可得为奇函数.
（2）利用定义法可得函数在区间上的单调性.
（3）根据函数性质可得，分析范围，利用集合间的关系可求参数的范围.
【小问1详解】
∵的定义域为R，且
∴为奇函数.
【小问2详解】
，且，
则
，
∵，∴，
当时，，故，即，
∴在上是增函数，
当时，，故，即，
∴在上是减函数.
综上，函数在上是增函数，在上是减函数.
【小问3详解】
解法一：∵，∴，，，
∴，.
由（2）知，函数为奇函数，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
∵，∴，∴，
∵，，使得，
∴，∴，解得，
∴.
解法二：∵，∴，，，
由（2）知，函数为奇函数，在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴，即，故，
∵，∴，
∴，即，
∵，，使得，
∴，
∴，解得，
∴.
19. 定义：函数的定义域为，若对上的任意不同的两个数和任意的，都有，则称在上是凸函数.
（1）判断是否为凸函数，并说明理由；
（2）已知偶函数在上是凸函数，证明：在上也是凸函数；
（3）若在上是凸函数，对于定义域内任意不同的三个数和任意的，证明：当时，都有成立.
【答案】（1）是凸函数，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用作差法判断，即可说明；
（2）根据凸函数的定义及偶函数的性质证明即可；
（3）当时显然成立，当时，结合凸函数的定义证明即可.
【小问1详解】
是凸函数，理由如下：
因为
，
由于，所以，
即，
所以是凸函数.
【小问2详解】
任取，所以，
因为在上的凸函数，所以，
又因为是偶函数，所以，
所以在上也是凸函数；
【小问3详解】
因为，，
由对称性不妨设当时，则，
此时显然成立，
当时，因为在是凸函数，
所以
而，再次根据凸函数的定义，
则
所以
，
即.1
2
3
3
2
1
建立平台第x个月
1
2
3
4
5
会员人数y（万）
2
5
6.7
8
8.9