江苏省南京市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了 若展开式中常数项为60， 设，则的值为， 已知点，，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据排列数的定义得可以表示为.
故选：B.
2. 若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（ ）
A. B. 4C. 7D. 23
【答案】A
【解析】由是一个单位正交基底，得，
所以.
故选：A
3. 今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有（ ）种不同的方法.
A. 24B. 18C. 12D. 10
【答案】D
【解析】依题意，从一排的5个位置中任取2个放入2只红球，另3个位置放入黄球即得一个排列，所以不同排法种数是.
故选：D
4. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】平面外的任一点O，点共面的充要条件是
，且，
对于A，由，得，点不共面，A不是；
对于B，由，得，点不共面，B不是；
对于C，由，得，点不共面，C不是；
对于D，由，得，点共面，D是.
故选：D
5. 若展开式中常数项为60.则常数a的值为（ ）
A. 4B. 2C. 8D. 6
【答案】A
【解析】展开式的通项为：.
取得到常数项，解得.
故选：.
6. 如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，
向量
，
故选：D
7. 如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（ ）种不同的方案.
A. 10B. 12C. 16D. 24
【答案】C
【解析】依题意，要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，
共有个位置可以建设桥梁，
从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，
所以要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.
故选：C
8. 设，则的值为（ ）
A. 128B. -128C. D.
【答案】B
【解析】依题意，的通项公式为
，
则都为负数，都为正数，
因此
，
取，得，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9. 已知点，，则（ ）
A. 为
B. 线段的中点坐标为
C. 点B到x轴的距离为5
D. 直线的一个方向向量为
【答案】ABC
【解析】对A，由题意得，则，故A正确；
对B，线段的中点坐标为，即，故B正确；
对C，点B到x轴的距离为，故C正确；
对D，因，且，
则与向量不共线，故D错误.
故选：ABC.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（ ）
A. 与平面所成角的正弦值为
B. 与所成角的余弦值为
C. 点到直线的距离为
D. 和平面的距离为
【答案】BCD
【解析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，设平面的法向量为，
，设与平面所成角为
所以，故A错误；
对于B，，设与所成角为，
则，故B正确；
对于C，，
由点到直线的距离公式可得，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，，
则，取，则，
由可得平面，所以和平面的距离即为点到平面的距离，
由点到直线的距离公式可得，故D正确.故选：BCD.
11. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（ ）
A. 其中能被5整除的数有240个B. 其中偶数有312个
C. 其中2，4相邻的数有192个D. 其中1，3不相邻的数有372个
【答案】BC
【解析】对于A，能被5整除的整数，个位为0或5，个位为0的六位数有个；
个位为5的六位数有个，共有（个），A错误；
对于B，个位为0的六位偶数有个，个位为2，4之一的六位偶数有个，
共有（个），B正确；
对于C，视2，4为1个数，相当于5个元素的排列，0不能排首位，有（个），C正确；
对于D，由选项C知，1，3相邻的数有192个，符合条件的六位数有个，
因此1，3不相邻的数有（个），D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，则 .
【答案】0
【解析】展开式通项为，
所以，
故答案为0.
13. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.
【答案】
【解析】由题意，
所以，
解得.
故答案为：
14. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______.
【答案】8
【解析】设切点为，
因，所以，得，
所以，即，
所以，，
当且仅当，即时，取最小值，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 等比数列中的所有项均为整数，已知，.
（1）求与前项和；
（2）设，求数列的前10项的和.
解：（1）设的公比为，依题意得，
解得或，
又因为等比数列中的所有项均为整数，则，
因此，.
（2）由（1）知，则
所以.
16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列.
（1）求展开式中的一次项；
（2）证明展开式中没有常数项；
（3）求展开式中所有的有理项.
解：（1）设该二项式展开式通项为，则，
由题意可得：或，
显然不符题意，舍去，故.
令，即含x的一次项为：；
（2）由（1）展开式通项为 ，则，
所以不满足，所以展开式中没有常数项；
（3）由（1）知二项式展开式通项，
由题意知，
令得为展开式中所有的有理项.
17. 某班一天的课表共安排6节课，上午4节，下午2节，每门学科都不重复，有7门学科可供选择，它们分别是数学、语文、物理、化学、体育、生物、历史.要求体育课必须安排进课表，且不安排在上午前3节课.
（1）共有多少种不同的课表?
（2）若数学安排进课表，且安排在上午，共有多少种不同的课表?
（3）若数学、语文都安排进课表，且都安排在上午，共有多少种不同的课表?
解：（1）排体育课有种方法，从余下6门学科中任取5门排入课表有种方法，
所以不同的课表种数是（种）.
（2）数学排在前3节，有种方法；数学排在第4节，有种方法，
所以不同的课表有（种）.
（3）上午不排体育课，有种方法；上午排体育课，有种方法，
所以不同的课表有（种）.
18. 如图,直三棱柱中,是的中点，，.
（1）求与平面所成的角大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）若为的中点，求二面角的正弦值.
解：（1）由已知，，，
则，即，
又三棱柱为直三棱柱，
则平面，
如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
又为中点，所以，，
易知平面的一个法向量为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为，
即直线与平面夹角为；
（2）由空间直角坐标系可知，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离；
（3）由空间直角坐标系可知，
又为中点，则，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
则，
所以二面角的正弦值为.
19. 已知函数，，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，设的最小值为，在区间上的最小值为，试比较与的大小关系；
（3）若与在区间上的单调性相反，求的取值范围.
解：（1）当时，，其定义域，
可得，
可得，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以切线方程，即.
（2）由（1）知：当时，，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即，
所以函数在上单调递减，所以，即
又由函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以，即，
由，所以.
（3）由函数，可得，
由（2）知，函数在 上单调递增，
因为若与在区间上的单调性相反，
即函数在区间上单调递减，即在区间恒成立，
即在区间恒成立，即在区间恒成立，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为.