广东省天天向上联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份广东省天天向上联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版），共11页。
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的，答卷无效.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若，则（ ）
A. 30B. 20C. 12D. 6
【答案】A
【解析】若
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 0B. 2C. －2D. －4
【答案】C
【解析】，
所以，
因为.
故选：.
3. 甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为（ ）
A. 24B. 12C. 8D. 6
【答案】C
【解析】由题：老师站中间，
第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；
第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；
第三步：排剩下两位同学，2种排法，
所以共8种.
故选：C
4. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
【答案】C
【解析】数列等比数列，设公比为q，且，，
则，则，则，
则，故选：C.
5. 等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 24B. 12
C. 24或－12D. －24或12
【答案】A
【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．故选：A
6. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数
C. 在区间上减函数D. 在区间上减函数
【答案】B
【解析】，
由图象得：时， ，
故在递增，
故选B．
7. 用半径为1的圆形铁皮剪出一个扇形制成一个圆锥形容器，容器高为，当容器的容积最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为，体积为，则，
因此，
可得，
令，解得，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减；
所以当时，取到极大值，并且这个极大值为最大值，
故选：D.
8. 若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】问题转化为，
当时，不等式显然成立，
当时，即有对任意恒成立，
令，则，
令，
则，
故在递增，
， ，
，使得，故，
故时，，，时，，
故在递减，在，递增，
故，
故，
故整数最大值为4，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A. 为等差数列
B. 为递增数列
C. 的前项和
D. 的前项和
【答案】BD
【解析】由两边同除以，可得：，
因，则，
故为等比数列，首项为4，公比为2.
对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误；
对于B，由上分析，可得，即，
由，因，
故为递增数列，故B正确；
对于C，由上已得，则 ①，
则 ②，
由：，
即，即，
故得，故C错误；
对于D，因，则，
故的前项和为，故D正确.
故选：BD.
10. 某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（ ）
A. 所有不同的分派方案共种
B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种
C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种
D. 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种
【答案】ACD
【解析】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确；
对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种；
第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法，
再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确；
对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种，
根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确；
对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种，
故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时，
共有种不同分派方案，故D正确
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 是的极大值
B. 当时，
C. 当时，有且仅有一个零点，且
D. 若存在极小值点，且，其中，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为，则，
当时，令，得到或，
当或时，，当时，，
所以是的极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为，
当时，，由极值的定义知，的极大值为，无极小值，
当时，令，得到或，当或时，，
当时，，
所以是的极大值点，
极大值为，是极小值点，极小值为，
综上，是的极大值，所以选项A正确，
对于选项B，因为，由选项A知，在区间上单调递增，
又，则，，所以，
故选项B错误，
对于选项C，当时，，
由选项A知，的增区间为，，减区间为，
当时，，，，
由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，且，
所以选项C正确，
对于选项D，因为存在极小值点，由选项A知，，得到，
因为，则，整理得到，
即，又，所以，故选项D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，年小题5分，共15分.
12. 的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）
【答案】
【解析】二项式展开式的通项为，，
所以的展开式中常数项为.故答案为：
13. 已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则____________.
【答案】3
【解析】设切点为，由，得，
则切线的斜率为，
所以切线为，
又切线过点，所以，
整理得，而是此方程的两个实根，
所以.
故答案为：3
14. 已知函数的定义域为,为的导函数，且满足，则不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】函数的定义域为所以有成立，
解这个不等式组，解得 ① ．
因为 所以,
而 可以得到 这样可以构造一个新函数，
显然 因此是上的增函数.
由 可得，
所以得到
是上的增函数 于是有
解这个不等式可得 ②
综合①② 不等式的解集是
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
（1）一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？
（2）若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）
解：（1）有以下两种情况：①4次均为正品，共有种不同的抽法；
②前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共有种不同的抽法.
所以共有种不同的抽法．
（2）由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束.
第1次抽到的是次品有种抽法，第2次抽到的是正品有种抽法，第3次抽到的是正品有种抽法.
当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种不同的抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有种不同的抽法，
若第4次抽到正品且第5次抽到次品，则共有种不同的抽法.
所以，共有种不同的抽法．
16. 已知函数在处取得极值1.
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
解：（1）因为，所以.
依题意得，，即.
解得，，经检验，，符合题意.
所以，
（2）由（1）可知，所以.
令，得，.
当在上变化时，，的变化情况如下表：
又，所以在上的最大值为1，最小值为.
17. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
解：（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
18. 已知函数（e为自然对数的底数，）
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
解：（1）由题设，显然，
若，则，故，则在R上单调递减；
若，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，时在R上单调递减；时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知，时上单调递减，在上单调递增；
所以，
要证，只需证，
所以，只需证，
令且，则，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以，而，
所以，故得证.
19. 对于数列,如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
（3）设数列的前项和为,如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．
解：（1）是等差数列，设，
令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的．
（2）因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则．
当时，
当时，是首项为，公比为的等比数列．
（3）一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，由（2）知
因为，所以．
是首项为2，公比为的等比数列．
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
是首项为2，公比为的等比数列，
，且，
化简得，
即数列是首项，公比为的等比数列．
又，
又解得，
综上所述，．1
＋
0
－
单调递增
极大值1
单调递减