陕西科技大学附属中学2024−2025学年高二下学期月考一 数学试题（含解析）

这是一份陕西科技大学附属中学2024−2025学年高二下学期月考一 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
3．已知，则除以10的余数为（ ）
A．0B．1C．8D．9
4．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．36B．42C．45D．54
5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．

A．240种
B．300种
C．360种
D．420种
8．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．展开式中所有项的二项式系数的和为16
10．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（ ）
A．所有可能的方法有34种
B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种
C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增B．的最小值为
C．方程的解有2个D．导函数的极值点为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某校举行新年晚会，需要从6名女生和5名男生中选4人当主持人，要求主持人中既要有男生也要有女生，则不同的选法种数为 .
13．的展开式中的系数为 .
14．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式二项式系数和为64.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
16．设函数，
(1)求曲线y=在点（0，）处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值；
(3)若方程在有三个不同的根，求的取值范围．
17．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
18．现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球．
（1）若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，，.
故选C.
2．【答案】A
【详解】由题知函数的定义域为，
则.
令，得（舍去）.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为.
故选A
3．【答案】A
【详解】由可得，
，
则得，，
即.
故m除以10的余数为0.
故选A.
4．【答案】B
【详解】当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，
再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择，
此时共种情况，
当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2,4进行全排列，共种情况，
综上，组成没有重复数字的三位数个数为.
故选B
5．【答案】C
【详解】因为函数，所以，
又函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上，，则.
当时，不恒为零，也符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选C
6．【答案】C
【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种，
若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种，
因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种.
故选C.
7．【答案】D
【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，
则B有4种布置方法，C有3种布置方法．
如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法；
如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法．
按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有（种）.
故选D．
8．【答案】A
【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
9．【答案】ABD
【详解】对A：令，可得，故，A正确；
对B：，所以，B正确；
对C：令，可得，则，C错误；
对D：展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确．
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，所有可能的方法有种，故A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为，
另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，
第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有，另外一名志愿者的排法有3种，
此种情况共有种，
第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，
则共有种安排方法，B正确.
对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有种安排，D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A，B，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C，对构造函数再次求导，判断极值点即可.
【详解】易知，可得，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，故A，B正确，
若讨论方程的解，即讨论的零点，
易知，，故，
故由零点存在性定理得到存在作为的一个零点，
而当时，，显然在内无零点，
故只有一个零点，即只有一个解，故C错误，
令，故，
令，解得，而，，
故是的变号零点，即是的极值点，
故得导函数的极值点为，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】从6名女生和5名男生中选4人当主持人有种选法，
若4人全是男生，则有种选法，
若4人全是女生，则有种选法，
则主持人中既要有男生也要有女生，不同的选法有种.
13．【答案】
【详解】的展开式通项为，
因为，
在中，其通项为，令，
在中，展开式通项为，令，可得，
所以，的展开式中的系数为.
14．【答案】
【详解】易知函数的定义域为，
，
因为函数存在两个不同的极值点，
所以在内有两个不等根，
设，，
则只需，即，
所以，则的取值范围为.
15．【答案】（1）60
（2）.
【详解】（1）由题意得：，解得
由通项公式，
令，可得：.则常数项为
（2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为.
16．【答案】(1)；
(2)最大值为10，最小值为；
(3).
【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解.
（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.
（3）利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题.
【详解】（1）代入得到，即切点坐标（0，1）
由，得 ．
-
曲线y=在点（0，）处的切线方程为.
（2）由，得 ．
令，得，解得或
与在区间上的情况如下：
在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为．
（3）若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点.
由（2）可知：
又当；当
所以时，方程有三个不同根． -
17．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)，
从6名成员中挑选2名成员有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，，
记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为，，，，共有5种，故．
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则，
由（1）知，故．
（3）由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，则，故．
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）将两个球捆绑在一起和其他球进行全排列，有种不同的排法．
（2）先把球排在中间位置，再从球的两侧各选一个位置排两个球，其余球任意排列，所以有种不同的排法．
（3）先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中．
若按3，1，1分配，则有种不同的放法；
若按2，2，1分配，则有种不同的放法．
所以共有种不同的放法．
19．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；
令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，实数的取值范围为.
-4
-3
1
（1，3）
3
↗
10
↘
↗
10
-3
（-3，1）
1
↗
10
↘
↗