江苏省南京市金陵中学2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市金陵中学2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共7小题）
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
2．已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ）
A．11B．12C．12.5D．13
3．圆的圆心与抛物线C：的焦点重合，为两曲线的交点，则|AB|＝ （ ）
A．2B．5C．D．
4．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A．144B．168C．156D．192
5．在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（ ）
A．1.2B．1.4C．1.7D．1.8
二、解答题（本大题共5小题）
8．为助力农业发展，科研团队对某农作物种子的发芽情况进行研究，记录种子发芽天数为随机变量，且最多需要天发芽．
(1)在不同温度条件下进行发芽实验，得到如下数据：
能否有95%的把握判断种子发芽是否与温度有关?
(2)已知该种子在甲地发芽的概率为0.7，在乙地发芽的概率为0.6．若随机选择甲地或乙地进行实验（两地被选中的概率均为 0.5），求种子发芽的概率．
(3)深入研究发现：发芽天数为1的种子在全体种子中占20%；且对于，，发芽天数为的种子在发芽天数超过的种子中占25%．
①证明：，，构成等比数列；
②求该农作物种子发芽天数的数学期望．
附：参考公式：．其中．
临界值表：
9．已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当函数有两个极值点且．证明：．
10．如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F是线段EB的中点．
(1)求证：平面ABC；
(2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值．
11．已知为椭圆上一点，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．
(1)若，A为椭圆C的上顶点，求的面积．
(2)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
12．已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
三、填空题（本大题共3小题）
13．三棱锥中，于点，，和的面积都是，则当三棱锥的体积取得最大值时， ．
14．已知数列的前项和为，满足，则 ．
15．个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球.不同放法种数是 （用数字作答）．
四、多选题（本大题共3小题）
16．已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（ ）
A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为．
B．若，且为线段的中点，则的离心率为
C．若，且为线段的中点，则的离心率为
D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使
17．暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
18．下列说法正确的是（ ）
A．若，则n的值为6
B．已知，则
C．的展开式中x3的系数为12
D．在的展开式中，系数绝对值最大项是第3项
五、单选题（本大题共1小题）
19．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，得，故，所以.
故选D．
2．【答案】A
【分析】利用样本中心点求解即可.
【详解】，
因为经验回归方程经过样本中心，
所以，
解得.
故选A.
3．【答案】C
【详解】圆的圆心为，
所以，，所以，
联立和可得，得或，
在抛物线中，，所以，代入，
易得，所以．
故选C
4．【答案】C
【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，
若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，
故可以组成60＋96＝156个符合条件的数．
故选C．
5．【答案】B
【详解】因为学生成绩服从正态分布，且，
所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取名学生，其成绩不低于的概率是，
则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是，
故选B.
6．【答案】B
【详解】当时，，当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，，，当，
当时，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
当时，，当，当，
作出函数的图象如图所示．

因为函数有3个零点，所以与的图象有3个交点，由图知．
故选B．
7．【答案】C
【详解】设为从甲袋中摸出的红球数，为从乙袋中摸出的红球数，
则服从超几何分布，故，同理，
故，
故选C．
8．【答案】(1)有95%的把握判断种子发芽是否与温度有关
(2)0.65
(3)①证明见解析；②
【详解】（1）提出假设 ：种子发芽是否与温度无关，
，
由于由于，
，
所以我们有95%的把握判断种子发芽是否与温度有关．
（2）设“选择甲地进行试验”为事件，“选择乙地进行试验”为事件，“种子发芽”为事件B，
则，
即种子发芽的概率为．
（3）①证明：由题可得，，
当时，，
同理可得，当时，，
两式相减得，
即，
因为，
所以，
所以，，
所以当时，是以为首项，为公比的等比数列，
②
所以
令，
则，
两式相减得，，
所以，
则.
9．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，则
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
则，
令，即，则
当，即时，，此时在上单调递减；
当，即当或时，
若，方程的两根为，则两根均为正根，且，
则时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
时，，则在上单调递减，
若，恒成立，所以在上单调递减；
综上，当，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，
在上单调递增.
（3）证明：由（2）知，当时，有两个极值点，满足，
则，
所以
令，其中，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
因为，
所以，
所以.
10．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取AB的中点M，连接FM和CM，在中，F是EB的中点，M是AB的中点，
则且，
由平面，而平面，得，又，
因此四边形是平行四边形，，
而平面，平面，所以平面.
（2）由（1）得，平面，则为直线CF与平面所成角，即，
在中，，在等边中，M为AB的中点，则，
以M为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面与平面夹角为θ，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
11．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设直线的方程为，，，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
点到直线l的距离，
故的面积．
（2）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
12．【答案】(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
【详解】（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，
所以，，
，，
则X分布列为：
则
（2）不放回抽样时，则
，，，
则Y的分布列为：
则
13．【答案】
【详解】
设，在中，，所以，
所以，同理，．
在等腰中，设上的高为，则．
因为，且，平面，
所以平面，
所以三棱锥的体积，
设，令，由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以．
所以当时，取得最大值．
此时，
所以．
故答案为：
14．【答案】364
【详解】令，得，得，
由，
当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故答案为：364.
15．【答案】1560
【详解】将6个小球分成4个小组可以是或，然后再分别放入4个不同盒子，
共有种排法.
故答案为：1560.
16．【答案】AC
【详解】对于A，由题意得，则，所以离心率，故A正确；
对于B，因为，所以直线的斜率与其中一条渐近线的斜率乘积为，
由对称性不妨设的斜率为正，则直线的方程为，
由，得，即，
因为为线段的中点，所以，
因为点在渐近线上，所以，化简得，
所以，所以离心率，所以B错误；
对于C，由选项B可知，因为为线段的中点，所以，
因为点在双曲线上，所以，
化简得，所以，得，
所以离心率为，所以C正确；
对于D，分别设的横坐标为，
因为的离心率为2，所以，所以，
所以双曲线的方程为，
由题意可知直线的斜率存在，则设直线为，
由，得，
所以，
由，得，所以，
所以，所以有相同的中点，
所以，即对所有的直线都有，所以D错误.
故选AC．
17．【答案】ACD
【详解】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2，
“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B．
对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确；
对于B，因为，，但，故，故B错误；
对于C，由，，，，，，
由全概率公式得：
．故C正确；
对于D，由题意可知所求概率为；故D正确．
故选ACD．
18．【答案】CD
【详解】对于选项A，由得，解得，检验符合题意，所以A错误；
对于选项B，令，得，令，得．∴，故B错误；
对于选项C，因为，的展开式的通项，
则含x3的项为，所以系数为，所以C正确；
对于选项D，二项式的通项公式为：，
设第项的系数绝对值最大，所以有，解得，
因为，所以，所以系数绝对值最大项是第3项，D正确．
故选CD．
19．【答案】D
【详解】由，则．
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
方法一：即在区间上有解，所以．
令，则，
令在上单调递增，所以，即，
所以．
方法二：当时，在恒成立，不符合；
当时，开口向上，只需或，所以．
故选D
1
2
3
4
5
10
11
13
15
温度（℃）
发芽
未发芽
总计
20
60
40
100
25
80
20
100
总计
140
60
200
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
2
P