广东省佛山市顺德区罗定邦中学2024−2025学年高二（扬帆班）下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省佛山市顺德区罗定邦中学2024−2025学年高二（扬帆班）下学期4月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．为的极小值点B．为的极大值
C．在区间上，是增函数D．在区间上，是减函数
3．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A．360B．280C．156D．150
4．函数，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ）
A．B．C．0D．1
6．若函数单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A．360B．480C．960D．1280
8．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
11．记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．在处的3次泰勒多项式为
D．（精确到小数点后两位数字）
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为 .
13．如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是 .

14．若函数有2个零点，则m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
16．已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
18．已知数列中，，．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
(3)设，求数列的前项和．
19．设函数，.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
(3)设的两个不同的极值点为，证明：.
参考答案
1．【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量.
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选D.
方法二：利用等差数列的性质.
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选D.
方法三：特殊值法.
不妨取等差数列公差，则，则.
故选D.
2．【答案】B
【详解】由导函数的图象可知，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以为的极大值点，故A、 D错误；
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以为的极大值点，即为的极大值，故B正确，
函数在单调递减，在上单调递增，所以C错误.
故选B.
3．【答案】C
【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，
若个位上的数字为2或4，可以组成个，
故可以组成个符合条件的数．
故选C.
4．【答案】B
【详解】由，可得，
当时，，当时，，
所以函数在为严格单调递减函数，在上为严格单调递增函数，
因为，，又，
所以在的最大值为.
故选B.
5．【答案】D
【详解】设直线与曲线、分别相切于点、，
对函数求导得，则，
曲线在点处的切线方程为，即，
对函数求导得，则，
曲线在点处的切线方程为，即，
所以，，化简可得．
故选D.
6．【答案】D
【详解】因为（），所以（）.
问题转化为在上恒成立.
由（）.
又（当且仅当即时取“”）.
所以.
故选D.
7．【答案】D
【详解】当n为奇数，，，
当n为偶数，，，
因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；
的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，
所以
.
故选D.
8．【答案】C
【详解】令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，则，，
所以.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选ABC．
10．【答案】ABD
【详解】由，得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确.
根据等比数列的通项公式得，即，则，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确.
根据等差数列的通项公式得，即，
所以，C错误.
由，
，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，若，则，
，所以，A正确；
对于B，若，则，
，
观察可知，B正确；
对于C，的的阶导数，得，C正确；
对于D，记，则，
因为，
所以在处的次泰勒多项式，
，D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】由题意，数列的前n项和为，
当时，；
当时，
将代入上式可得，即时，适合上式，
所以数列的通项公式为.
13．【答案】960
【详解】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为.
14．【答案】
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，
函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点，
因此，解得，
所以m的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)最小值为0，最大值为
【详解】（1）解：由已知，得
令，可得，即
令，可得，即
故函数在上单调递增，在上单调递减.
即函数的单调增区间为.
（2）解：由（1）已知，得
函数在上单调递增，在上单调递减
故函数在处取得极大值，．
又因为，，
所以函数在上的最小值为0，最大值为．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，故，
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2），
.
17．【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
18．【答案】(1)证明见解析，
(2)4
(3)
【详解】（1）在数列中，由，得，
则，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
则，解得，所以的通项公式．
（2）由（1）知.
所以，
则，
两式相减得：
.
因此，，
当时，，
所以由恒成立，可得，
所以使恒成立的最小的整数为4；
（3），
所以
.
19．【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，当时，，
令，得或，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2），不妨设在上有两个不同的极值点，
即方程有两个不同的正根，则有
，解得，
所以的取值范围为.
（3），
设，则，
则在上单调递增，所以，
故.