河南省南阳市油田八年级下学期期末数学试卷

这是一份河南省南阳市油田八年级下学期期末数学试卷，共37页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若分式|x|−1x−1的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
3．（3分）学习了四边形之后，小颖同学用如图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）
A．平行四边形，正方形B．正方形，菱形
C．正方形，矩形D．矩形，菱形
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．12B．−12C．﹣1D．−13
6．（3分）若点P（1﹣2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞12B．a＜12C．0＜a＜12D．0≤a＜12
7．（3分）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
8．（3分）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，尺规作图：①在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；②分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；③连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：(π−3)0+(12)−1= ．
12．（3分）一次函数y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值 ．
13．（3分）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
＝（m+1）﹣2②
＝m﹣1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
（2）化简：(1+2x−2)÷x2−4x2−4x+4．
17．（9分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
18．（9分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
19．（9分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ．
20．（9分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y=kx部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y=kx的图象上方时，直接写出x的取值范围．
21．（9分）自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标；
23．（10分）【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容．
平行四边形的判定定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【知识应用】如图①，在平行四边形ABCD中，延长BC到点F，使BC＝CF，连接AC、DF．求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形ACFD的面积为7，直接写出四边形ABCD的面积．
河南省南阳市油田八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）若分式|x|−1x−1的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案．
【解答】解：根据题意，|x|﹣1＝0，x﹣1≠0，
∴x＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．（3分）学习了四边形之后，小颖同学用如图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）
A．平行四边形，正方形B．正方形，菱形
C．正方形，矩形D．矩形，菱形
【考点】多边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据特殊的平行四边形的概念判断即可．
【解答】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形既是菱形也是矩形，
∴M表示正方形，N表示菱形．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊的平行四边形，正确理解矩形、菱形、正方形之间的关系是解题的关键．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形性质得OA＝OB＝OC＝OD，再根据∠ABD＝60°得△OAB为等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，由此可得AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ABD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
5．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．12B．−12C．﹣1D．−13
【考点】正比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由图象知，函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是12，
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
6．（3分）若点P（1﹣2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞12B．a＜12C．0＜a＜12D．0≤a＜12
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
【分析】P（1﹣2a，a）在第二象限，可得1−2a＜0a＞0，即可解得答案．
【解答】解：∵点P（1﹣2a，a）在第二象限，
∴1−2a＜0a＞0，
解得：a＞12；
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组．
7．（3分）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用．
【答案】C
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化．
【解答】解：一组数据“12，12，28，35，■”，该数据■在30～40之间，
四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误．
众数也变化，选项B错误．
中位数是28，不变，选项C正确．
因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．
8．（3分）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】C
【分析】根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；
【解答】解：将常温中的温度计插入一杯60℃的热水中，温度计的度数与时间的关系，图象是C；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，注意温度计的温度升高到60度时温度不变．
9．（3分）如图，尺规作图：①在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；②分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；③连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【考点】作图—基本作图；菱形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】利用基本作图得到OA＝OB＝AC＝BC，则四边形OACB为菱形，然后根据菱形的面积公式计算OC的长．
【解答】解：由作法得OA＝OB＝AC＝BC，
∴四边形OACB为菱形，
∵四边形OACB的面积为4cm2，
∴12OC•AB＝4，
即12×2×OC＝4，
解得OC＝4，
即OC的长为4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明AE＝AF；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明EM＝FM；设DM＝x，将EM、MC和CE分别表示出来，在Rt△MCE中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM和△AFM中，
AE=AF∠EAM=∠FAMAM=AM，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x=125．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：(π−3)0+(12)−1= 3 ．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）一次函数y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值 ﹣1（答案不唯一） ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数y的值随x的增大而减小，得出3m+1＜0，进而写一个满足条件的m的值即可．
【解答】解：∵y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而减小，
∴3m+1＜0，
∴m＜−13，
∴m的值可以为：﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，根据函数增减性判断k的正负性是解题的关键．
13．（3分）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 7 ．
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据人数众数为7求得m的值，再由求中位数的方法即可求出中位数．
【解答】解：∵一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，
∴m＝7，
∴这组数据从小到大排列顺序为：6，6，7，7，7，8，
∴这组数据的中位数是7+72=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 8 ．
【考点】正方形的性质；轴对称的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【解答】解：由图可知：阴影部分的面积之和=12S正方形ABCD=12×4×4=8；
故答案为：8．
【点评】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 5 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】5．
【分析】取点O'（0，4），连接O'P，O'A，推出PO+PA的最小值为O'A的长，再利用勾股定理求出O'A的长即可．
【解答】解：取点O'（0，4），连接O'P，O'A，如图，
∵B（0，2），过点B作y轴的垂线l，
∴点O'（0，4）与点O（0，0）关于直线l对称，
∴PO'＝PO，
∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A，
即PO+PA的最小值为O'A的长，
在Rt△O'AO中，
∵OA＝3，OO'＝4，
∴由勾股定理，得O'A=OA2+OO′2=32+42=5，
∴PO+PA的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，平面直角坐标系，勾股定理，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
＝（m+1）﹣2②
＝m﹣1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
（2）化简：(1+2x−2)÷x2−4x2−4x+4．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）从第②步开始出现错误．正确的解题过程见解析；
（2）xx+2．
【分析】（1）利用分式的加减法则计算并判断即可；
（2）利用分式的混合运算法则计算即可得解．
【解答】解：（1）从第②步开始出现错误，
正确的解题过程为：
1m−1−2m2−1
=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)
=m+1−2(m+1)(m−1)
=m−1(m+1)(m−1)
=1m+1；
（2）(1+2x−2)÷x2−4x2−4x+4
=x−2+2x−2÷(x+2)(x−2)(x−2)2
=xx−2⋅(x−2)2(x+2)(x−2)
=xx+2．
【点评】本题主要考查了分式的加减乘除运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（9分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ 9.1 ，n＝ 9.1 ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 甲 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；方差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）9.1，9.1；
（2）甲；
（3）甲，理由见解答．
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义进行求解即可；
（2）根据方差的意义即可得出答案；
（3）分别从平均数、中位数两方面进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（1）甲的平均数是：m=15×（9.2+8.8+9.3+8.7+9.5）＝9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n＝9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2）由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
（3）应该推荐甲，理由如下：
选手甲和选手乙的平均数都高于选手丙的平均数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛；又因为选手甲比选手乙的中位数高，且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，所以应该推荐选手甲参加市级比赛．
【点评】本题考查的是折线统计图，算术平均数，中位数和方差，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
18．（9分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
【考点】四边形综合题．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）由题意可知，OA＝OC，OB＝OD，故根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质，根据SSS证明△BAD≌△ABC，从而证明∠BAD＝∠ABC，根据平行线的性质可以证明∠BAD＝∠ABC＝90°，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形ABCD是矩形．
【解答】（1）解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴在△BAD和△ABC中，
AB=BAAD=BCAC=BD，
∴△BAD≌△ABC（SSS），
∴∠BAD＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点评】本题考查平行四边形及矩形的判定，熟练掌握并灵活运用其判定定理是解题的关键．
19．（9分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ∠OFC＝∠OEA ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② OC＝OA ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ OF＝OE ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ 四边形AECF是菱形 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．
故答案为：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20．（9分）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y=kx部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y=kx的图象上方时，直接写出x的取值范围．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据表格信息建立方程组求解a，b的值，再求解k的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
【解答】解：（1）当x=−72时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，
当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴a−b=−72a+b=1，
解得：a=−2b=5，
∴一次函数为y＝2x+5，
当x＝1时，y＝7，
∵当x＝1时，y=kx=7，即k＝7，
∴反比例函数为：y=7x，
当x=−72时，y=7÷(−72)=−2，
当y＝1时，x＝a＝﹣2，
当x＝﹣2时，y=−72，
补全表格如下：
故答案为：7；﹣2；−72；
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为(−72，−2)，（1，7），
∴当y＝2x+b的图象在y=kx的图象上方时，x的取值范围为−72＜x＜0或x＞1；
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质．
21．（9分）自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案．
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000万元．
（2）w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．
【分析】（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．
（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，
根据题意得，300001.2x=15000x+4，
解得：x＝2500．
经检验，x＝2500是原方程的解．
∴1.2x＝3000，
∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．
（2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备，
∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，
由实际意义可知，a≥050−a≥0a≥13(50−a)，
∴12.5≤a≤50且a为整数，
∵500＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）．
∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标；
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y=−6x；y＝﹣x﹣5；（2）（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）．
【分析】（1）把A（﹣6，1）代入y=mx可得反比例函数解析式；把B（1，n）代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）记直线AB与直线x＝﹣2的交点为C，求出点C的坐标，设点P（﹣2，p），根据S△PAB=12×PC×|xA−xB|即可求解．
【解答】解：（1）依题意把A（﹣6，1）代入y=mx，得出1=m−6，
解得m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y=−6x；
把B（1，n）代入y=−6x中，得出n=−61=−6，
∴B（1，﹣6），
则把A（﹣6，1）和B（1，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得出1=−6k+b−6=k+b，
解得k=−1b=−5，
∴y＝﹣x﹣5；
（2）如图，记直线AB与直线x＝﹣2的交点为C，
∵y＝﹣x﹣5，
∴当x＝﹣2时，则y＝﹣x﹣5＝2﹣5＝﹣3，
∴C（﹣2，﹣3），
∵P是直线x＝﹣2上的一个动点，
∴设点P（﹣2，p），
∵△PAB的面积为21，
∴12×PC×|xA−(−2)|+12×PC×|xB−(−2)|=12×PC×|xA−xB|=12×PC×(xB−xA)=21，
即12×|−3−p|×7=21，
∴|﹣3﹣p|＝6，
解得p＝3或﹣9，
∴点P坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
23．（10分）【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容．
平行四边形的判定定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【知识应用】如图①，在平行四边形ABCD中，延长BC到点F，使BC＝CF，连接AC、DF．求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形ACFD的面积为7，直接写出四边形ABCD的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程；
（3）7．
【分析】（1）根据条件证明△ABC≌△CDA，然后判定即可；
（2）根据平行四边形ABCD可得AD∥BC，AD＝BC，然后判定即可；
（3）根据平行四边形的特点，同底等高面积相等判断即可．
【解答】（1）证明：连接AC，在△ABC和△CDA中，如图1，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CF，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形；
（3）解：根据题意判断四边形ACFD和四边形ABCD均为平行四边形，
∴平行四边形ACFD和平行四边形ABCD同底等高，
∴平行四边形ACFD面积＝平行四边形ABCD面积＝7．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
考点卡片
1．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
2．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
5．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
6．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
7．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
10．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
11．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
12．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
16．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
20．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
21．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
25．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
26．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
27．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
30．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/16 8:30:04；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395
选手
统计量
甲
乙
丙
平均数
m
9.1
8.9
中位数
9.2
9.0
n
x
−72
a
1
2x+b
a
1

kx


7
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
A
A
C
C
B
D
选手
统计量
甲
乙
丙
平均数
m
9.1
8.9
中位数
9.2
9.0
n
x
−72
a
1
2x+b
a
1
7
kx
﹣2
−72
7
x
−72
﹣2
1
2x+b
﹣2
1
7
kx
﹣2
−72
7