2025年高考押题预测卷：数学（江苏专用02）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（江苏专用02）（解析版），共17页。试卷主要包含了已知，则，设是数列的前项和，且，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】首先解一元二次不等式求集合M，利用对数函数的性质求集合N，再结合交集概念求答案即可.
【详解】由题意得，
，
所以，
故选：D.
2．若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为
A．B．C．D．
【解析】设向量的夹角为，，，
，
则，
均为单位向量，
，解得，解得．
故选：．
3．若是实系数方程的一个根，则方程的另一个根为
A．B．C．D．
【解析】依题意得，
，，即方程，
易得方程的另一个根为．
故选：．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对两边平方整理即可得答案.
【详解】因为，
两边平方得，
所以.
故选：B.
5．设是数列的前项和，且，，则
A．B．C．D．
【解析】，
，
，
是以1为首项，公差为2的等差数列，
，，，
，
．
故选：．
6．函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）
A．B．-1
C．0D．1
【答案】D
【解析】将用替换，用替换，可得，从而可得，进而可得，可求出函数的周期，再令，可求出，由即可求解.
【详解】将用替换，用替换，
由对任意实数，都有，
可得，由，
所以，即，
所以，所以函数的周期，
令，则，因为，所以，
所以，故选：D
7．已知抛物线，过点作直线交于两点、，分别过、作的切线交于点.若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】利用导数求出B，C点的切线方程，联立方程求出P点的坐标即可.
【详解】

设，显然，直线l的斜率是存在的， 设l的方程为，
联立，解得，，并且，
，…①，
，
即B，C点切线的斜率分别为，切线方程分别为，，
即…②，…③；
联立②③，解得，即，由得：
，
将①代入上式得：，即，
，
；
故选：B.
8．如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用线面垂直的性质定理可得，又可得平面，所以.再根据三角形面积相等可得出的表达式即可确定其最小值。
【详解】根据题意平面可知，，
又可得；
由可知，，所以可得平面，即；
在中，，，
.又，即。所以，由得。，
所以，当且仅当时等号成立，
即时，此时分别为线段和线段的中点，取得最小值；
综上可知，的最小值为.故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A．平均数是B．中位数是
C．方差是D．极差是
【答案】BC
【分析】A选项，根据平均数定义计算出的平均数为；B选项，根据中位数的定义得到的中位数为；C选项，利用方差的定义得到C正确；D选项，利用极差的定义得到的极差为.
【详解】A选项，由题意得，
则，
则的平均数是，A错误；
B选项，从小到大排列后为，
取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，
由于，故从小到大排列为，
取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，B正确；
C选项，由题意得，
则
，故方差是，C正确；
D选项，从小到大排列后为，
故，
其中从小到大排列后为，
则，故极差是，D错误.
故选：BC
10．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
【答案】ABD
【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，
将的图象向左平移个单位长度，得，
即得到y=fx的图象，所以A正确，
对于B，当时，，周期，在上是3个周期，
先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象，
再在同一坐标系中作出在的图象，
由图可知曲线y=fx与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确，
对于C，当时，，
若在上有且仅有5个零点，则，
解得，所以C错误，
对于D，当时，，
由选项C可知，则，
所以，
所以，
所以在单调递增，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（ ）
A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为
B．若，则的最小值是
C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为
D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为
【答案】BCD
【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的定义转换可得的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点的坐标，从而判断C；根据线段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D.
【详解】对于A，依题意设双曲线（且），即，
又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误；
对于B，因为，所以，

，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确；
对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为．

则，，，所以，
，解得，，
连接，则内切圆半径，，，，
所以轴，点在第二象限，坐标为-2,3，故C正确；
对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，且，作差可得，
整理得，即（*），
在中，，则，
故，即，
将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确．
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量服从，若，则 .
【答案】/
【知识点】指定区间的概率
【分析】根据正态分布性质求概率.
【详解】因为,及正态分布的对称性可得
.
故答案为：.
13．在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 .
【答案】
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果．
【详解】由整理得，即，又，
故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得,
不等式，可化为，
令，当时，；
当时，，，
故当时，单调递减，故，
综上，，
所以，故最小值为．
故答案为：
14．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】函数，令，
则，显然函数在上单调递增，而，
由，得，于是，即，令，
依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根，
亦即直线与函数的图象有两个公共点，
，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，且（1），当时，恒成立，
从而当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【解析】（1），，
，
，
，
又，
，
（舍，．
（2），
，
，
为锐角三角形，
，，
，，
，，
，．
，令，
单调递减，单调递增，
当，，当，
16．（15分）已知函数，，．
（1）求曲线过点的切线方程；
（2）若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）设：切点坐标为，，对函数求导得：，
所以切线斜率为：．又因为切线过点，
所以．解得，
所以切线方程为：．
（2）令，
由题设得：存在，使得对任意，
都有成立，等价于，
对函数求导得：，
所以函数在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，
所以函数在处取得最大值，最大值为，
对函数求导得：，
①当时，令在处取得最大值得，，
所以函数在区间上单调递增，在单调递减，
所以函数在处取得最大值，最大值为（1），
所以，符合题意．
②时，令，即，解得：，
当，即时，函数在上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意；
③当，即时，函数在上单调递增，
在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；
④当，即时，函数在上单调递增．
在上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意；
⑤当，即时．函数在上单调递增，
在上单调递减，此时函数在处取得最大值，最大值为（1），
所以，即．
综上所述，实数的取值范围是：．
17．（15分）已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6．
(1)求E的方程；
(2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线MN过定点．
【分析】（1）根据已知条件建立方程组，解出即可;
（2）设出直线AP的方程为，与直线,椭圆联立，分别表示出M，P，N的坐标，进而表示出直线，求得定点.
【详解】（1）由题意知 解得，，，
所以E的方程为．
（2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
又直线BC的方程为，由，解得，，
即．
由得，解得或，
当时，，即，
所以直线CP的斜率，
所以直线CP的方程为，令，得，即．
所以直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
即，所以直线MN过定点．

18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.

(1)若，求证：平面平面PCD；
(2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；
(3)若与平面PBC成角大小，求DC边长.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直及面面垂直的判定定理证明可得结论；
（2）利用空间向量的位置关系证明，建立空间直角坐标系即可得出结论；
（3）根据线面角的向量求法得出表达式，解方程即可得出DC边长.
【详解】（1）因为平面平面ABCD，
所以，
又，所以
又平面PAD
所以平面PAD，
又平面PCD，
所以平面平面PCD.
（2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系
设，则，
则
设，
，
假设存在满足，因为等价于，
解得，所以不存在
（3）因为，所以，
，
设，其中，又，
，
设平面PBC法向量，依题意，即
令则，所以，
因为PD与平面PBC成角大小，所以
或，
即
又，此方程组无解
综上可得.
19．（17分）已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为：
其中（）满足：，且．定义由生成的函数，令．
（I）若由生成的函数，求的值；
（II）求证：随机变量的数学期望， 的方差；
（）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值．
【答案】(1);(2)详见解析;(3)441.
【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、写出简单离散型随机变量分布列
【详解】试题分析：本题为新定义信息题，根据知： ，而，则 ；根据数学期望公式写出 ，由于，求出的表达式，根据方差公式写出 并推到证明；第三步写出的取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数 并求出的值.
试题解析：（I） ．
（II）由于，
，
所以． 由的方差定义可知




由于，所以有
，这样
，所以有
．
（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为：
．
投掷骰子两次次对应的生成函数为: ．
所以．
方法2：的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．
则的分布列为
．
则
．0
1
2
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12