2025年高考押题预测卷：数学（广东卷01）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（广东卷01）（解析版），共17页。试卷主要包含了在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】且，当时，；当时，；
当时，；当时，；所以，
所以.
故选：B
2．若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以.
故选：D
3．已知向量，，.若、、三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量，，，
所以，，
因为、、三点共线，则，所以，，解得.
故选：C.
4．已知函数，则“”是“在上的单调递增”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在为单调递增，满足，
解得，∴，
当时，在上为增，
综上，在为单增时，
∴，是在为增函数的必要不充分条件．
故选：B．
5．某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数），
由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为.
所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为，
因此所求概率为.
故选：A.
6．正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，
则，
故，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
7．在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在中，成等差数列，所以，
又，所以，
设所成等比数列得公比为，则
，，
由正弦定理可得，
整理可得，，
又，即，
整理可得，
所以解得，故，于是，所以，
故选：D.
8．设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆的焦点，，
不妨令点在第一象限，
在中，，
则，解得，，则，
由平分，得，
而，则，
所以.故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机事件的概率不为0，若和相互独立，则和一定不互斥
B．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为1.4
C．数据的平均数为2，方差为12，则
D．设随机变量服从正态分布，则
【答案】AD
【解析】对于A中，由随机事件的概率不为0，即，
若事件和互斥，则，
若事件和相互独立，则，
所以事件和相互独立，则事件和一定不互斥，所以A正确；
对于B中，将代入回归方程为，可得，
则样本点的残差为，所以B不正确；
对于C中，数据的平均数为2，方差为12，
可得且，
可得，
所以，所以C错误；
对于D中，由随机变量服从正态分布，可得
则，所以D正确.
故选：AD.
10．若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以函数需满足在定义域上单调.
对于A，易知函数在R上单调递增，故A正确；
对于B，因为在R上单调递增，函数在R上单调递减，故可知函数在R上单调递增，故B正确；
对于C，因为，定义域为R，所以.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故C错误；
对于D，因为，定义域为R，所以，化简可得，因为，所以对，，又因为，所以对，恒成立，所以函数在R上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
11．几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转体体积也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，平面区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋转区域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面绕轴旋转形成的几何体体积为，记半圆面重心坐标为.如图2，阴影部分为函数与围成的区域，记该区域绕轴，轴旋转形成的几何体体积分别为，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，易知它的重心即其圆心，由定义可知，故A错误；
对于B，易知该半圆面绕旋转所得的几何体为半径为1的球体，
其体积，故B正确；
对于C，根据条件易知半圆面绕横轴旋转形成的几何体体积为
，
设点，
则，
所以图2阴影面积小于半径为1的半圆面积，即，故C正确；
对于D，图（1）阴影区域满足，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为，
图（2）阴影区域满足，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为，
设纵坐标为的平面去截这两个几何体，
联立得，其截图（1）对应旋转体的截面面积为
，
联立得，其截图（2）对应旋转体的截面面积为
，则，
易知，而，故D正确；
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列的前项和为，，，则 ．
【答案】110
【解析】.
故答案为：110.
13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 .
【答案】0或2
【解析】由得，当时，切线的斜率，
则曲线在点处的切线方程为，
因为它与只有一个公共点，所以有唯一解，
即有唯一解，
故或，
解得或，
故答案为：0或2
14．已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则 .
【答案】
【解析】由，得，令，
即，整理得，
即，解得或，
则或，或，
当时，，由函数在上有且仅有一个零点，
得，即，当时，，，
此时或，使得，不符合要求；
当时，或，
当时，，函数在上无零点，
当时，，当且仅当时，，符合要求，
因此，，
，，
，，
，，
而，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．

(1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；
(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？
参考公式与数据：
【解析】（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：，
样本平均数的估计值为：
，
显然数据落在区间的频率为，落在的频率为，（4分）
因此样本中位数在区间内，其估计值为；，
则，解得，
所以. （6分）
（2）总的成绩优秀人数为：，
得到列联表为：
零假设：男生和女生的测试成绩优秀率没有差异，
于是的观测值为，（11分）
所以根据小概率值的独立性检验，无法推断不成立，即认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异. （13分）
16．（15分）
记锐角内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，（3分）
而，则，于是，
整理得，因此，
所以. （7分）
（2）在锐角中，由（1）知，，则，
而，则
，当且仅当时取等号，
因此，，所以的最大值为1. （15分）
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，．

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）连接，因为底面是等腰梯形，，，，，
由余弦定理可得，
所以，则，
因为，，，所以，则，
因为，、平面，所以平面，
因此平面，所以. （4分）
（2）在中，，，
由余弦定理可得，
因为，，则，
因为四边形为等腰梯形，且，则，，
所以，，，（7分）
故为等腰三角形，且，
因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，（8分）
设平面的一个法向量为，，，
所以，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
所以，取，可得，（12分）
所以，
所以.
因此，二面角的正弦值为. （15分）
18．（17分）
已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
【解析】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即的取值范围为. （5分）
（2）证明：若，则.
设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，
则，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，不等式得证. （10分）
（3）.
当时，，则在上单调递减，无极值点.
当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.
当时，令，
令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，（13分）
，，
由（2）知，则，
所以恰有两个零点，，
令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点.
综上，的取值范围是. （17分）
19．（17分）
在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆.
(1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设点，记的面积为，证明：.
【解析】（1）假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为，
由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点，
显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线，
易知该切线的斜率为，
∵圆与抛物线在点处有相同的切线，
∴，解得，
∴圆与抛物线有公共点，
∴和谐圆的半径为
∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为. （4分）
（2）由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设，
（ⅰ）∵为抛物线的和谐数，
∴的和谐圆为，
∴由（1）可知，，解得，（6分）
∴，
∵在圆上，∴，
∵，圆与外切，且，
∴，即，
∴，
∴数列是等差数列，其公差为2，首项为，
∴，即，
∴数列的通项公式为. （10分）
（ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴，
易知，且，∴为等腰三角形，
易知的面积，
当时，，（13分）
∴，
∴，
∴，
∴不等式得证. （17分）
性别
测试成绩
合计
优秀
不优秀
男生
45
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
测试成绩
合计
优秀
不优秀
男生
45
65
110
女生
25
65
90
合计
70
130
200