河南省信阳市普通高中2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳市普通高中2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版），共35页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数的导函数为，且，则实数（ ）
A. 2B. 5C. D.
【答案】C
【解析】，
，解得
故选：C.
2. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】， ，，
，故ABC选项错误，D选项正确.
故选：D
3. 某电视节目中知识竞赛的一个环节是：在5道试题中有3道历史题和2道地理题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求某位参赛选手在第1次抽到历史题的条件下，第2次抽到地理题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记“第1次抽到历史题”，“第2次抽到地理题”，
由题意得，，
所以．
故选：D
4. 函数的导函数为，且满足，则的值为（ ）
A. 5B. 1C. 6D. -2
【答案】C
【解析】函数，求导得，
当时，，解得，
因此，所以.
故选：C
5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A. 0.625B. 0.75C. 0.5D. 0.25
【答案】A
【解析】由题意，令表示会做，表示选对，则，
且，
所以.故选：A
6. 若随机变量X服从两点分布，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由有，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；，故D正确.
故选：C.
7. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，所以单调递减．
由，
得，所以．
故选：B.
8.托马斯·贝叶斯（Thmas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为，
从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，
由题意：①，；
②，；
③，.
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，
则从甲袋中取出的是2个红球的概率为：
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设随机变量，且，则实数的值可为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为随机变量，且，
所以，或，即或，解得或.
故选：BC.
10. 已知，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的展开式中的常数项为84
B. 的展开式中不含的项
C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
【答案】AC
【解析】因为展开式的通项公式，
所以当，A正确；
当时，，B错误；
的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C正确；
根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D错误.
故选：AC.
11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，在点处的切线方程为
B. 当时，有三个零点
C. 若有两个极值点，则
D. 若，则正实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，设切线方程为：.当时，，
则，，即切线方程为，故A正确；
对于B，当时，，；或.
则在上递增，在上递减，得，
，又注意到当趋近于负无穷大时，趋近于正无穷大，
趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，
则分别上有一个零点，故B正确；
对于C，，，
令，
因有两个极值点，则有两个不等正根，，故 C错误；
对于D，，即，
可化为，
令，因，则在上单调递增，
即，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，则，即，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为______（用数字作答）．
【答案】
【解析】分以下两种情况讨论：
若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中，
此时，不同的站法种数为种；
若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中，
此时，不同的站法种数为种.
综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种.
故答案为：.
13. 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为____________.
【答案】
【解析】因为二项式系数之和为1024，可得，所以，
则二项式的展开式的通项为，
令，可得，所以含的项的系数为．
故答案为：.
14. 若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】，即
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
所以在区间上有解，所以
令，，则
令，则在上单调递增，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的最大值与最小值．
解：（1）由题意得，则，
又，则切线方程为，即，
即曲线在点处的切线方程为．
（2）由（1）知，
令，得或，令，得3，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由（2）可知，在，上单调递增，在上单调递减，
因，
则在上的最大值为，最小值为.
16. 五一劳动节期间，信阳市书画协会组织举办了专题书画展，展出的200幅优秀作品生动呈现了该市人民在党的领导下，于国家建设进程中付出的艰苦卓绝努力和取得的辉煌成就．这些书画作品的作者的年龄都在岁之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
（1）求这200位作者年龄的平均数x和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）市书画协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望、方差．
解：（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为：
，
．
（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，
故的所有可能取值为0，1，2，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为，
．
17. 如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，经过10次碰撞最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码．
（1）求和X分布列．
（2）求小球最后落入格子的号码X为奇数的概率．
（3）求变量X的数学期望和方差．
解：（1）设“向右下落”，“向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，
所以，
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
所以，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
（2）记小球最后落入格子的号码为奇数为事件，
则
（3）由（1）知，
，.
18. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田,引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；
（2）若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；
（3）将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
解：（1）.
平均亩产量的估计值为:
（吨）.
故平均亩产量的估计值为0.75吨.
（2）由于，所以，故，
利用正态分布的对称性得
.
估计亩产量不低于的亩数为（万亩）.
（3）由直方图知亩产量不低于概率为，
由于亩产量不低于的亩数，
故其期望（亩）.
19. 电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为:如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数,且在开区间，b）内具有阶导数,则对于闭区间上的任意一点,有，我们称上式为函数在处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式.如的麦克劳林公式为，
（1）利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）；
（2）当时，比较与的大小并证明；
（3）若，求实数a的取值范围．
解：（1）令，代入上式可得，
所以．
由两边同时求导得，（或通过麦克劳林公式计算得到）
所以，所以
（2）
令，
则，设，则，
所以函数在上单调递增，
则（或通过麦克劳林公式得到）．
所以函数在上单调递增，则．
所以当时，，即证．
（3）若，即
令，则，
①当时，若，
令，则，则函数在上单调递增，且，即；（或通过麦克劳林公式得到）
令，则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
若，则，即（或通过麦克劳林公式得到），
所以，则，
所以函数在上单调递增，则，
即恒成立．
②当时，，
存在实数，使得均有，
则函数在上单调递减，且，不符合题意，
所以当时，不符合题意．
综上，的取值范围为．
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10