河南省信阳市普通高中2024−2025学年高二下学期期中教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳市普通高中2024−2025学年高二下学期期中教学质量检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的导函数为，且，则实数（ ）
A．2B．5C．D．
2．下列求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．某电视节目中知识竞赛的一个环节是：在5道试题中有3道历史题和2道地理题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求某位参赛选手在第1次抽到历史题的条件下，第2次抽到地理题的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的导函数为，且满足，则的值为（ ）
A．5B．1C．6D．-2
5．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A．0.625B．0.75C．0.5D．0
6．若随机变量X服从两点分布，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．托马斯·贝叶斯（Thmas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设随机变量，且，则实数的值可为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
11．设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在点处的切线方程为
B．当时，有三个零点
C．若有两个极值点，则
D．若，则正实数的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）．
13．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为 .
14．若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值．
16．五一劳动节期间，信阳市书画协会组织举办了专题书画展，展出的200幅优秀作品生动呈现了该市人民在党的领导下，于国家建设进程中付出的艰苦卓绝努力和取得的辉煌成就．这些书画作品的作者的年龄都在岁之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200位作者年龄的平均数x和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)市书画协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望、方差．
17．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，经过10次碰撞最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码．
(1)求和X的分布列．
(2)求小球最后落入格子的号码X为奇数的概率．
(3)求变量X的数学期望和方差．
18．某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；
(2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；
(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
19．电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间，b）内具有阶导数，则对于闭区间上的任意一点，有，我们称上式为函数在处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式．如的麦克劳林公式为，
(1)利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）；
(2)当时，比较与的大小并证明；
(3)若，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，，解得.
故选C.
2．【答案】D
【详解】， ，，
，故ABC选项错误，D选项正确.
故选D.
3．【答案】D
【详解】记“第1次抽到历史题”，“第2次抽到地理题”，
由题意得，，
所以．
故选D.
4．【答案】C
【详解】函数，求导得，
当时，，解得，
因此，所以.
故选C.
5．【答案】A
【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件，
则，
所以，
故选A.
6．【答案】C
【详解】由有，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；，故D正确.
故选C.
7．【答案】B
【分析】运用函数导数的四则运算构造新,，则用新函数的单调性解题即可.
【详解】令，则，所以单调递减．
由，
得，所以．
故选B.
8．【答案】A
【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为，
从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，
由题意：①，；
②，；
③，.
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，
则从甲袋中取出的是2个红球的概率为：
.
故选A.
9．【答案】BC
【详解】因为随机变量，且，
所以，或，即或，解得或.
故选BC.
10．【答案】AC
【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出．
【详解】因为展开式的通项公式，
所以当，A正确；
当时，，B错误；
的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C正确；
根据二项式系数的性质可知，最大，所以的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D错误.
故选AC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，设切线方程为：.当时，，
则，，即切线方程为，故A正确；
对于B，当时，，；或.
则在上递增，在上递减，得，
，又注意到当趋近于负无穷大时，趋近于正无穷大，
趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，则分别在上有一个零点，故B正确；
对于C，，，令，
因有两个极值点，则有两个不等正根，，故 C错误；
对于D，，即，可化为，
令，因，则在上单调递增，
即，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，则，即，故D正确．
故选ABD．
12．【答案】
【详解】分以下两种情况讨论：
若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中，
此时，不同的站法种数为种；
若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中，
此时，不同的站法种数为种.
综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种.
13．【答案】
【详解】因为二项式系数之和为1024，可得，所以，
则二项式的展开式的通项为，
令，可得，所以含的项的系数为．
14．【答案】
【详解】，即
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
所以在区间上有解，所以
令，，则
令，则在上单调递增，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)最大值为3，最小值为.
【详解】（1）由题意得，则，
又，则切线方程为，即，
即曲线在点处的切线方程为．
（2）由（1）知，
令，得或，令，得3，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由（2）可知，在，上单调递增，在上单调递减，
因，
则在上的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)平均数为60，方差为180
(2)分布列见解析，数学期望1，方差
【详解】（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为：
，
．
（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，
故的所有可能取值为0，1，2，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为，
．
17．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)，.
【详解】（1）设“向右下落”，“向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以，
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
所以，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
（2）记小球最后落入格子的号码为奇数为事件，
则
（3）由（1）知，
，.
18．【答案】(1)
(2)万亩
(3)1.2亩
【详解】（1）.
平均亩产量的估计值为:
（吨）.
故平均亩产量的估计值为0.75吨.
（2）由于，所以，
故，
利用正态分布的对称性得.
.
估计亩产量不低于的亩数为（万亩）.
（3）由直方图知亩产量不低于的概率为，
由于亩产量不低于的亩数，
故其期望（亩）.
19．【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）令，代入上式可得，所以．
由两边同时求导得，（或通过麦克劳林公式计算得到）
所以，所以
（2）
证明：令，
则，设，则，
所以函数在上单调递增，则（或通过麦克劳林公式得到）．
所以函数在上单调递增，则．
所以当时，，即证．
（3）若，即
令，则，
①当时，若，
令，则，则函数在上单调递增，且，即；（或通过麦克劳林公式得到）
令，则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
若，则，即（或通过麦克劳林公式得到），
所以，则，
所以函数在上单调递增，则，
即恒成立．
②当时，，
存在实数，使得均有，
则函数在上单调递减，且，不符合题意，
所以当时，不符合题意．
综上，的取值范围为．
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10