江苏省淮安市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省淮安市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0B．2C．3D．4
2．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知为正数，，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ）

A．1B．2C．D．
8．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量，则
B．设离散型随机变量满足，则
C．设随机变量服从正态分布，则
D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
10．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
C．相关系数
D．现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为
11．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则中含项的系数为48
D．若为偶数，则能被4整除
三、填空题
12．已知函数，则该函数在处的切线斜率为 ．
13．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ．
14．学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为 ，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则 ．
四、解答题
15．已知（为常数）．
(1)当时，求的二项展开式中各项系数的和；
(2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值．
16．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表：
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：．
17．已知为奇函数，．
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域；
(3)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点．
(1)若、分别为棱，的中点，证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)若，当取何值时，三棱锥体积取得最大．
19．在Pythn编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”．
(1)若数组与数组以数表形式表示如下：
判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”；
(2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；
(3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望．
1．C
根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，集合，所以，故中的元素个数为3.
故选：C．
2．A
根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：A
3．D
根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD.
【详解】对于A，因为，所以，错误；
对于B，因为，所以，错误；
对于C，因为，
所以，错误；
对于D，因为，所以，正确.
故选：D
4．A
利用点的对称性，代入中，求出函数的解析式，结合选项即可判断.
【详解】设函数的图象关于坐标原点对称的函数为，
设函数图象上任一点，则点关于原点对称的点，
将Q坐标代入得，即，所以函数为.
由选项可知，只有A选项符合题意.
故选：A
5．B
根据在上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为在上单调递增，
所以，解得，所以的取值范围为，
由能推出，但是由得不出，
所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
6．C
，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可.
【详解】因为为正数，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
7．D
根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.
【详解】因为点分别为的中点，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
又，则，所以.
故选：D.
8．B
由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，利用周期性即可求解.
【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，故的周期为，
因为，
所以
.
故选：B.
9．AC
根据二项分布的概率公式求解判断A，根据均值的性质求解判断B，根据正态分布的对称性判断C，结合组合数根据古典概型概率公式求解判断D
【详解】对于A，若随机变量，则，，故A正确；
对于B，若离散型随机变量满足，则，故B错误；
对于C，随机变量服从正态分布，均值为，则，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误.
故选：AC
10．ACD
对于AD：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：代入，结合回归方程的意义分析判断；对于C：根据正相关的定义分析判断.
【详解】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点，
由题意可得：，故A正确；
对于选项B：令，可得，
但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，
所以预测物理成绩为92.5，故B错误；
对于选项C：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，
可知与满足正相关，所以相关系数，故C正确；
剔除这两对数据后，，
，
因为线性回归方程必过样本中心点，
所以，则，D正确.
故选：ACD
11．ABD
逆用二项式定理求得，解方程判断AB；先求出，再根据这一项的生成过程分类讨论求解系数判断C；，结合二项展开式可得能被4整除判断D.
【详解】因为，所以，即，
对于A，若，则，解得，正确；
对于B，若，则，即，
由单调递减，及，可得，正确；
对于C，若，则，解得，
对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，
若2个取出，1个取出，2个取出，则，
若1个取出，3个取出，1个取出，则，
若5个取出，则，
所以的系数为，错误；
对于D，，为偶数，不妨记，
则
能被8整除，所以能被4整除，正确.
故选：ABD
12．1
求出即可得解.
【详解】已知函数，
，则，
所以函数在处的切线斜率为.
故答案为：
13．4
由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可.
【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面，
则，即，
，
当时，，所以，
即，且，此时为梯形，
所以.
故答案为：4.
14．
由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解.
【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得；
设“第天选择套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，
则，
则.
15．(1)256．
(2)．
（1）利用赋值法，令即可得解；
（2）利用二项展开式通项公式求解.
【详解】（1）当时，
因为，令时，
则的二项展开式中各项系数的和为．
（2）因为的二项展开式的第项，
，
因为的二项展开式中常数项为24，
所以，即，
又因为，所以，即．
16．(1)
(2)认为主场作战与比赛胜负与主场有关联
（1）根据古典概型计算求解；
（2）计算卡方，与临界值比较即可判断.
【详解】（1）．
（2）：假设主场作战与比赛胜负与主场没有关联．
根据小概率值的独立性检验，认为主场作战与比赛胜负与主场有关联.
17．(1)
(2)
(3)
（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解；
（2）根据，结合不等式性质求解函数的值域；
（3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.
【详解】（1）函数定义域为，
因为为奇函数，所以
当时，，所以，故，
则，经检验，满足条件，故．
（2）因为，所以，
所以，即，所以，
所以函数的值域．
（3）因为为增函数，所以为增函数，为减函数，
所以为增函数．令，则．
由（2）可知，当时，仅一根，
所以在上有两不等根，
所以，解得，所以．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值.
（3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值；
法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值．
【详解】（1）取的中点，连接，
因为、分别为棱，的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理平面，
因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）由题意中平面得两两垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量，
则，
不妨设，则，即：，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
（3）法一：设点到平面（也即平面）的距离为，
三棱锥体积为，则，
由（2）可知平面的一个法向量，
点到平面距离，
因为，所以点到平面距离．
，
所以，即为直角三角形，所以，
所以点到棱的距离为，
又因为，所以，且点到边的距离为，
所以的面积为．
所以，其中．
所以，所以，
令可得，列表如下：
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
法二：三棱锥体积为，则，
因为，所以，，
所以，
所以，
则，
令可得，列表如下：
答：当取何值时，三棱锥体积取得最大．
19．(1)数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7．
(2)．
(3)
（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得.
（2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可.
（3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”.
【详解】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：
数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”；
数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7．
（2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件．
若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素，
每列有3个元素，且，则．
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和．
若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾；
若和不同行也不同列时，不妨设，
根据定义可得：，
所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的．
所以．
答：是“数组”的概率为．
（3）根据题意的可能取值为（共个取值），
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
……
当时，此时“数组”的个数为：
当时，此时“数组”的个数为：
由这些计数无重复，故的元素个数为
注意到以上计数具有对称性，即：
……
所以利用“倒序相加”法我们有：正常
不正常
合计
患该疾病
7
18
25
未患该疾病
19
6
25
合计
26
24
50


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
B
C
D
B
AC
ACD
题号
11









答案
ABD









+
0
－
递增
极大值（最大值）
递减
+
0
－
递增
极大值（最大值）
递减