山东省临沂市河东区2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份山东省临沂市河东区2024年中考二模数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了填空题，解答题解答要写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 2024
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
2. 如果，那么下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
B．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
C．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
D．如果，那么，故选项错误，符合题意．
故选：D．
3. 数学老师给所教的名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了元，则每件礼物的价格可表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】A
【解析】由题意知，每件礼物的价格可表示为元，
故选：A．
4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵从砚台上面看到的图形是，
故选．
5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∴，
故选C．
6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，
∴，
∵，
∴，
故选A．
7. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由题意知，，，
如图，连接，
∵三角板的斜边与半圆相切于点，
∴，，，
由勾股定理得，，
∵，∴，
故选：D．
8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A. B.
C. D. 无法判断
【答案】B
【解析】如图所示，连接交于O，
由题意得，分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴，

根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，
∴，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积一半
∴，
故选：B．
9. 甲乙丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点与点重合，折痕与边交于点；乙再折出射线，点在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点对应点为点，连接；则下列说法错误的是（ ）
A. 四边形为平行四边形
B. 中，若，则四边形为矩形
C. 若，则四边形为正方形
D. 若射线平分，则四边形为菱形
【答案】C
【解析】A、根据题意得：，
∴四边形为平行四边形，不符合题意；
B、∵中，若，
∴，
由选项A得四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形，不符合题意；
C、∵，
∴ 四边形为矩形，符合题意；
D、∵射线平分，
∴，
由选项A得四边形为平行四边形，即，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，不符合题意；
故选：C
10. 二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为点 D，则：①；②的面积为；③当时，若点，在图象上，则；上述结论正确的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】∵，
∴顶点，故①正确；
令，则，
解得：，，
，故②错误；
对称轴为，当时，离对称轴越近值越大，
∵，
∴，故③错误；故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 比较大小：__________4．（填“>”“
【解析】∵，，
∴，即．
故答案为：．
12. 计算：_____．
【答案】
【解析】原式，
故答案为：．
13. 关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为_____．
【答案】
【解析】∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，解得或，
当时，，方程无实数根，舍去，
∴
故答案为：．
14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为________．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，∴，∴，∴，∴，
故答案为：．
15. 如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度和注水时间之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为________秒．
【答案】
【解析】根据题意之后水杯内水的高度开始匀速增加，
∵内注水，
∴每秒注水：，
根据图可得注满水时的高度为，
所以从开始到注满水需，
从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为，
故答案为：．
16. 已知方程，当时方程有唯一解，则a的取值范围为________．
【答案】或
【解析】设，
则，
函数的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
若时，，则有唯一解，
∴，即，
当时，方程在时方程有唯一解，
∴，
综上，a的取值范围为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）已知，求的值；
（2）解不等式组：．
解：（1）原式，
∵，
∴，
∴原式．
（2），
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
18. 为响应“数学为王”的呼声，某地举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．乙校学生成绩数据频数分布直方图如图所示：
（数据分为四组：，，，）
b．乙校学生成绩数据在这一组的是：80，81，81，82，85，86，88，88；
c．甲、乙两校学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值为 ；
（2）在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为p，q，则p q（填“＞”，“＜”或“＝”），理由是 ；
（3）若乙校共有1600名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有 人．
解：（1）由频数分布直方图得：
从小到大排列后第个和第个数是和，
，
故答案：；
（2）由题意得
甲的平均数大于中位数，乙的平均数小于中位数，
，
故答案：，甲的平均数大于中位数，乙的平均数小于中位数；
（3）由题意得（人），
故答案：．
19. 为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩．经调研，市场上有A、B两种型号的充电桩，若购进A种型号充电桩9套与B种型号充电桩10套共需要万元；若购进A种型号充电桩12套与B种型号充电桩8套共需要13.6万元．
（1）A、B两种型号的充电桩每套分别为多少万元？
（2）该市决定购买A、B两种型号的充电桩共300套，且花费不超过200万元，则至少购买A 种型号充电桩多少套？
解：（1）设A型充电桩的每套为万元，则型充电桩的单价为y万元，根据题意得：
，解得：，
答：A型充电桩的每套为万元，则型充电桩的单价为万元．
（2）设购买A型充电桩个，则购买型充电桩个，
由题可得：，
解得：，
答：至少可购买A种充电桩200个．
20. 图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的 ，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为转动点A距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度；
（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：）
解：（1）过点A作于点G，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）当，时，过点A作于点M，
∵，
∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，
在中，，∴，
∴，
∵，
答：该消防车能实施有效救援．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时，的取值范围；
（3）连接，，求出的面积．
解：（1）把代入反比例函数得，
∴反比例函数的表达式是，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点和点，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式是；
（2）∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点，
∴当时，的取值范围是或；
（3）如图，设一次函数图象与轴交于点，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，是的直径，点是的中点，过点作弦，连接，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，求的长．
（1）证明：如图，连接，
是的直径，且，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，点是的中点，
点在线段的垂直平分线上，，
中，，
即，
，
，
即
是等边三角形．
（2）解：由（1）得，是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
半径为2，且点是中点，
，，
中，，
．
23. 某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的销售单价（元/件）与年销售量（万/件）之间的函数图象是如图所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为万元．（毛利润销售额生产费用）
（1）求出与以及与之间的函数关系式；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过万元，求今年可获得最大毛利润．
解：（1）图可得函数经过点
设抛物线的解析式为，将点代入得：，
解得：，
故与之间的关系式为，
图可得：函数经过点、，
设，则，解得：，
故与之间的关系式为；
（2），
∴与之间的函数关系式为；
（3）令得，
解得：（负值舍去），
由图象可知，当时，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：今年最多可获得毛利润万元．
24. 如图1，和都是等边三角形，连接，．

（1）求的值；
（2）如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值；
（3）如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长．
解：（1）和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
（2），，
，
，；
，
，
；
（3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，

是等腰直角三角形，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，，
，
．学校
平均数
中位数
众数
甲
79.2
79
78
乙
79.7
m
76