2023~2024学年北京顺义区高考考前适应性数学试题{一模}带解析

这是一份2023~2024学年北京顺义区高考考前适应性数学试题{一模}带解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】由题目条件，先求解，再与集合A做交集运算即可.
【详解】因，故．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】根据复数的四则运算得到，再根据模长公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C.
3．函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】由题意可知：，即可求出答案.
【详解】因为数的图象与函数的图象关于轴对称，则 ，所以.
故选：D.
4．的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于（ ）
A．4B．6
C．8D．10
【正确答案】B
由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．
【详解】因为的展开式的各个二项式系数之和为8，所以，解得，
所以展开式的通项为，令，，
则r＝1，所以常数项为6．
故选：B
5．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】由角终边过点求出，利用诱导公式及二倍角公式化简即可得解.
【详解】因为角终边过点，，
所以，
.
故选：A
本题考查任意角的三角函数定义，涉及三角函数诱导公式及二倍角公式，属于基础题.
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
7．《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】利用古典概型概率公式即得.
【详解】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，
所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.
故选：D.
8．设为等比数列，若，，，，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【详解】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则 ，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A.
9．已知圆：与直线：，为直线上一动点.若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A．B．4C．2D．
【正确答案】C
【分析】易知直线与圆相离，为直线上一动点，当直线与圆相切时，取得最大值，求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
由正弦定理可得三角形的外接圆直径为，
为直线上一动点，当直线与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值，最大值为.
故选：C.
本题考查直线与圆的位置关系以及正弦定理的应用，考查数形结合的数学思想，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
10．新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自月日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（ ）
A．月日～月日B．月日～月日
C．月日～月日D．月日～月日
【正确答案】A
【分析】由题对求导得： ，根据基本不等式得：，即可求出答案.
【详解】对求导得： ，
根据基本不等式得：，
当且仅当，即，即，即.
故选：A.
二、填空题
11．双曲线的两条渐近线夹角为________．
【正确答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角．
【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，
设两条渐近线的夹角为锐角，
则，所以夹角为．
故答案为
本题考查双曲线渐近线方程的求法以及夹角公式，属于基础题．
三、双空题
12．正方形中，，为中点，为中点，则_______；若为上的动点，则的最大值为_________.
【正确答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求得，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最大值.
【详解】以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由于正方形的边长为，分别是线段的中点，所以，所以.
设，则，由于，所以，所以的最大值为.
故（1）；（2）
本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
四、填空题
13．已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可)
【正确答案】答案不唯一，如：
【分析】根据f（x）≤|f（）|，可得x时，f（x）取得最大值或最小值，即写出答案；
【详解】由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x时，f（x）取得最大值或最小值．
若x时，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z
若x时，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z
故答案为
本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题
五、双空题
14．已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________．
【正确答案】 6
利用C：的焦点坐标为,对照已知焦点坐标求得,得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得的横坐标，利用抛物线的定义求得到焦点的距离，进而得到所求.
【详解】抛物线C：的焦点为，可得，则抛物线C的方程是.
由M为FN的中点，在轴上，的横坐标为0，的横坐标为2，得M的横坐标为1，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
是抛物线上的点，是抛物线的焦点，抛物线C：的准线方程为,
，
.
故；6.
本题考查根据焦点坐标求抛物线的标准方程中的参数，利用抛物线的定义(焦半径公式)求点到直线的距离，涉及线段中点坐标公式，属基础题.
常用知识如下:
（1） C：的焦点坐标为;
（2）C：上的点到焦点的距离为.
六、填空题
15．小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间（月）的关系的散点图．有以下叙述：
①与函数相比，函数作为近似刻画与的函数关系的模型更好；
②按图中数据显现出的趋势，第个月时，浮萍的面积就会超过；
③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；
④按图中数据显现出的趋势，浮萍从月的蔓延到至少需要经过个月．
其中正确的说法有__________（填序号）．
【正确答案】①②③.
【分析】结合图形求出函数的表达式，然后逐一判断
【详解】①由题意知：浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系：（且），且由函数图象可知函数过点，∴，
∴这个指数函数的底数是，正确，故①正确．
∴函数解析式为．
②当时，，故第个月时，浮萍的面积就是超过成立，故②正确．
③由知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两位，③正确．
④由知，，；，，即需要经过个月，故④不正确．
运用函数解决实际问题，关键是建立数学模型，将其转化为函数问题，然后求解，需要理解题目意思．
七、解答题
16．已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到和，
再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.
【详解】（1）因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，
所以；
若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以， 所以，即，
当时，，满足题意，故.
若选条件②：因为是的对称中心，所以，
所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为是的对称中心，所以，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以等价于，，
所以，所以，
即函数的值域为.
17．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）根据平面，得到；根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可证；
（Ⅱ）设的中点为，连接，连接，根据面面平行的判定定理，先证明平面平面，进而可证线面平行；
（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意，分别求出平面和平面的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，所以；
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
即；
（Ⅱ）设的中点为，连接，则，
又平面，平面，
所以平面；
连接，因为且，
所以是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
又，且平面，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、由（Ⅰ）可知，
平面，即平面，
所以是平面的一个法向量，
又，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
因为二面角的平面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为.
本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.
18．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
(1)求样本中患病者的人数和图中，的值；
(2)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
(3)某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）.
【正确答案】(1)样本患病人数为人，，；
(2)；
(3)，误判概率为.
【分析】（1）根据等比例原则求患者人数，由频率和为1，列方程求a、b的值；
（2）分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率；
（3）判断且对应的误判率，即可得结果.
【详解】（1）由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人；
由直方图知：，可得，
，可得.
（2）由题意，指标检测值为4的未患病者有人，
指标检测值为4的患病者有人；
所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率.
（3）若为未患病者，为患病者，为体指标检测值为者，
所以100名样本中，，，
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为；
综上，当时误判概率最小为.
19．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.
【正确答案】（1）；（2）证明见解析，直线.
【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.
（2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线.
【详解】（1）由题意，且，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，联立方程
整理得，，
由，，即.
直线的方程为.①
过且与轴垂直的直线的方程为.②
联立①②可得.
点在定直线上.
关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标.
20．已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）.
（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（Ⅱ）由题意得，讨论根据判定其单调区间；
（Ⅲ）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；
法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值.
【详解】（Ⅰ）当时，
，
，
所以切线方程为：，即：；
（Ⅱ）由题，可得
由于，的解为，
（1）当，即时，，则在上单调递增；
（2）当，即时，
在区间上，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为.
(3)当，即时，
在区间 上，
在区间上，，
则在上单调递增，上单调递减.
（Ⅲ）解法一：
（1）当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立
（2）当时，，
所以在上单调递增，所以成立.
（3）当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法二：
当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
当时，，所以.
当时， ，所以恒成立.
设，则
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
【正确答案】（1）数列不具有性质；数列具有性质（2）的最小值为（3）证明见解析
（1）不满足存在正整数使得，故数列不具有性质；根据定义可知数列具有性质；
（2）由题可知，，，，，所以，再验证可知时，数列不具有性质，时，数列具有性质，从而可知的最小值为；
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.
【详解】（1）数列不具有性质；数列具有性质.
（2）由题可知，，，，，
所以.
若，因为且，所以.
同理，
因为数列各项均为正整数，所以.所以数列前三项为.
因为数列具有性质，只可能为之一，而又因为，
所以.
同理，有.
此时数列为.
但数列中不存在使得，所以该数列不具有性质.
所以.
当时，取.（构造数列不唯一）
经验证，此数列具有性质.
所以，的最小值为.
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则.
否则，存在满足：存在，使得，此时，从中取出：
当时，是一个具有性质的数列；
当时，是一个具有性质的数列；
当时，是一个具有性质的数列.
（i）由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个，
不妨设此集合为，从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设，对任意，，所以.
（ii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设.对任意，存在使得.
所以对任意，，
由假设，所以，所以，所以.
（iii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设.对任意，存在使得.
所以对任意，，
同样，由假设可得，所以，所以.
（iv）类似地，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且，
则.
（v）同样，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且，同理可得.
（vi）由假设可得.
同上可知，，
而又因为，所以，矛盾.所以假设不成立.
所以原命题得证.
本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于难题.
未患病者
6
21
15
9
6
3
患病者
0
0
4
8
12
16