2023北京顺义高三一模数学（含答案解析）

2023北京顺义高三一模数学

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  的展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C. 6 D. 24

4.  若等差数列和等比数列满足，则的公差为(    )

A. 1 B.  C.  D. 2

5.  函数的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若双曲线的离心率为e，则e的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，则“存在使得”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数n大约为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积(    )

A. 与无关，与有关 B. 与有关，与无关
C. 与都有关 D. 与都无关

10.  已知点A，B在圆上，且，P为圆O上任意一点，则的最小值为(    )

A. 0 B.  C.  D.

11.  函数的定义域为______________.

12.  已知圆，点A、B在圆M上，且为AB的中点，则直线AB的方程为_____________.

13.  若存在使得，则m可取的一个值为_____________.

14.  在中，，，，则___________，_____________.

15.  如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论：

①为优函数；

②若为优函数，则；

③若为优函数，则在上单调递增；

④若在上单调递减，则为优函数．

其中，所有正确结论的序号是______________.

16.  已知函数的一个零点为

求A和函数的最小正周期；

当时，若恒成立，求实数m的取值范围．

17.  为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．

若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：

从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中当最大时，写出k的值．只需写出结论

18.  如图，在四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，，，E是PD的中点．

求证：直线平面PAB；

已知，点M在棱PC上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．

条件①：平面平面ABCD；

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19.  已知函数

当时，求曲线在点处的切线方程；

求函数的单调区间．

20.  已知椭圆经过点，离心率为

求椭圆C的方程；

设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积是定值．

21.  已知为正整数数列，满足记定义A的伴随数列如下：

①；

②，其中

若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；

当时，若，求证：；

当时，若，求证：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，，，
，
故选：
分析：直接由集合的交集运算得出答案.
 

2.【答案】A 

【解析】解：复数z对应的点的坐标是，
，
则，
故选：
分析：本题主要考查复数的运算，结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关键．比较基础．
根据复数的几何意义先求出z的表达式，结合复数的运算法则进行计算即可．
 

3.【答案】D 

【解析】解：解：二项式展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式的常数项为
故选：D
分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x的指数为0求出r，将 r的值代入通项求出展开式的常数项.
 

4.【答案】A 

【解析】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q

，又

又
，，
故选：A
分析：根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.
 

5.【答案】B 

【解析】解：函数定义域为R，，函数是R上
的奇函数，
函数的图象关于y轴对称，选项A，D不满足;
因为函数在R上单调递增，在R上单调递减，则函数在R上单调递增，选
项C不满足， B满足.
故选：B
分析：分析给定函数的奇偶性、单调性即可判断作答.
 

6.【答案】C 

【解析】

解：，
由于，所以，，
所以，
故选：C
【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.  

7.【答案】A 

【解析】

解：若存在使得，
则，
，即，
存在使得，
“存在使得”是“”的充分条件;
当时，，此时
存在使得，
“存在使得”不是“”的必要条件.
综上所述，“存在使得”是“”的充分不必要条件.
故选：
【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得.  

8.【答案】B 

【解析】

解：由题意可得，所以，，所以，，
所以
故选：
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式
以及对数的运算法则计算可得n的近似值.  

9.【答案】D 

【解析】

解：因为为正方体，所以

因为平面，平面，所以平面，
所以点P到平面的距离也即到平面的距离，也即点P到平面的距
离不随的变化而变化，设点P到平面的距离为h，过点作，根据
正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，
，所以平面，则有，
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以点Q到的距离也即到的距离，且距离为1，所以定
值，
所以定值，
则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与，都无关.
故选：
【分析】根据得出平面，所以点P到平面的距离也即到
平面的距离，得到点P到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，
并补随BQ的变化而变化，进而得到答案.  

10.【答案】D 

【解析】

解：因为点A，B在圆上，且，P为圆O上任意一点，

则，设，，，
所以，，
所以，
即的最小值为
故选：
【分析】由题可设，，，然后根据向量数量积的坐标
表示及三角函数的性质即得.
【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法
一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解;
二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.  

11.【答案】 

【解析】

解：因为函数
则，解得且
所以函数的定义域为
故答案为：
【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.  

12.【答案】 

【解析】

解：可整理为，
所以圆心为，根据垂径定理可得，，
所以，直线AB的方程为整理得
故答案为：
【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.  

13.【答案】内的任一值均可 

【解析】

解：因为存在使得，
也即函数有零点，则有，解得：，
所以m可取内的任意一个值，取，
故答案为：内的任一值均可
【分析】根据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所
得到的范围内任取一个值即可求解.  

14.【答案】或      5 

【解析】

解：因为，由正弦定理可得，
因为A、，则，所以，，则，故，
由余弦定理可得，即，，解得
故答案为：
【分析】利用正弦定理化简可得出的值，结合角 A的取值范围可得出角A的值;利用
余弦定理可得出关于c的等式，结合可得出c的值.  

15.【答案】①②④ 

【解析】

解：因为s，，
所以
，
故，故是优函数，①正确;
因为为优函数，故，即，
，故，
同理可得，，，②正确;
例如，，满足，
即在上单调递减，
故③错误;
若在上单调递减，
任取s，，，，
则，，
变形为，，
两式相加得：，
因为，所以则为优函数，④正确.
故答案为：①②④
【分析】①计算出，故，
得到①正确;
②赋值法得到，，依次类推得到
③举出反例;
④由在上单调递减，得到，，整理变形后相
加得到，即正确.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理
解;
可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解
的较为透彻;
发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律;
如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么
情况下可以使用书上的概念.  

16.【答案】解：的一个零点为
，即，

所以函数的最小正周期为


当时有最大值，即
若恒成立，即，
所以，故m的取值范围为 

【解析】解方程即可求A，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.
若恒成立，即求

 

17.【答案】解：只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有
人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为
只服用药物A的患者7天内康复的概率为，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中X的可能取值为0，1，2，
，，
，
则分布列为：

数学期望为
只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，
，，1，2，，100
令，即
解得：，因为，所以 

【解析】结合表格中数据求出概率;
先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到 X的可能取值及
相应的概率，得到分布列和期望;
求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式
得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.
 

18.【答案】解：
取PA中点F，
连接EF，BF，
因为E是PD的中点，F是PA中点，
所以EF是中位线，
所以EF平行且等于AD的一半，
因为，
所以BC平行于AD，
又，
所以EF与BC平行且相等，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE平行于BF，
而平面PAB，
平面PAB，
所以直线平面

若选①平面平面ABCD，
取AD中点O，
因为侧面PAD为等边三角形，
所以平面ABCD，
易证平面AD，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，，
设平面MAB的一个法向量为，
所以，
令，
解得，
所以，
易知地面一个法向量为，
又二面角的大小为，
所以，，
所以，，
解得，
又点M在棱PC上，所以，
所以，
又点M在棱PC上，所以，
所以，
所以的值为
若选②

则取AD中点O，
因为侧面PAD为等边三角形，
所以平面AD，|
连接OA，OC，OD，
易知≌≌，
所以，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，，
设平面MAB的一个法向量为，
所以，
令，
解得，
所以，
易知地面一个法向量为，
又二面角的大小为，
所以，
所以，，
解得，
又点M在棱PC上，所以，
所以，
所以的值为 

【解析】根据中位线定理和线面平行判定即可求解；根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.
 

19.【答案】解：当时，，
所以
又因为，，
所以在处的切线方程为，即
由题意知，的定义域为R

①当时，，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增;
②当时，由得或，
若，则，所以在R上单调递增，
若，则，
所以当或时，当所以在上单调递减，在和上单调递增，
若，则，
所以当或时，当a时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是
当，的单调递减区间是，单调递增区间是和
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间;
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和 

【解析】当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程;
对a进行分类讨论，由此求得的单调区间.
 

20.【答案】解：由题意，可得，解得，，，
所以椭圆为
证明：把代入椭圆方程，
得，
所以，即，
设，，则，，
所以，
因为四边形OAPB是平行四边形，
所以，
所以P点坐标为
又因为点P在椭圆上，
所以，即
因为，
即
又点O到直线l的距离，
所以平行四边形OAPB的面积
，
即平行四边形OAPB的面积为定值.
 

【解析】由题意可得关于a， b， c的方程组，求得 a， b的值，则椭圆方程可求;
联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边
形OAPB是平行四边形，可得P点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用
弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点 O到直线l的距离，代入三角形面积公
式即可证明平行四边形OAPB的面积为定值.
 

21.【答案】解：因为数列，3，2，1，，
所以，，，
因为k，
所以，1a1，2a2，
3，4
故数列A的伴随数列为
当时，，显然有
当时，只要证明
用反证法，假设，
则，从而，矛盾.
所以
再根据，，，为正整数，可知
故当时，
当时，，有，此时，命题成立;
当时，由的结论，，，，中至少有两个1，
现假设，，，中共有个1，即
则
因为若，则，矛盾.
所以
根据的定义可知，，，
，
以此类推可知一直有，再由后面，可知

另一方面与s奇偶性相同，所以 

【解析】依题意，可直接写出相应的伴随数列;
讨论，两种情况，利用反证法即可求解;
讨论，两种情况，当时，由的结论，，-- ，中至少有两个1，
利用反证法可得，根据的定义即可证明.
【点睛】定义新数列题目，要正确理解题目信息，将问题转化为熟悉的知识点进行求解，注意反证法的运用.