内蒙古2025届高三高考预测卷数学试题 含解析

这是一份内蒙古2025届高三高考预测卷数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了展开式中的系数为，若，且，则，已知点为函数和图象的交点，则，已知的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.故选D.
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】【详解】由题意知：，
所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.
3．若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，
则有，解得.故选：C.
4．已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】,
另解：.故选：B
5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高，
所以，根据侧面积相等有，即，
综上，圆柱体积，圆锥体积，
所以，故选D
6．展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.
所以，总的选取方法数目就是.
每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.
故选：C.
7．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
又，即，则，
所以，
故，故选D
8．已知点为函数和图象的交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知方程，即的根为.
因为，所以，所以，且为方程的根.
令，则，所以在上单调递增.
又，所以，即，所以.
故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知的部分图象如图所示，则（ ）

A．的最小正周期为
B．的图象可由的图象向右平移个单位得到
C．在内有3个极值点
D．在区间上的最大值为
【答案】ABD
【解析】由图可知，，周期，则，故A正确；
由，得，即，
解得，，即，；
因为，所以，则；
对于B，的图象向右平移个单位得
，故B正确；
对于C，由，得，根据正弦函数的图象可知，
和，即和是函数的两个极值点，故C错误；
对于D，由，得，则，此时，则在区间上的最大值为，故D正确；
故选：ABD
10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．若满足的直线恰有一条，则
D．若满足的直线恰有三条，则
【答案】ACD
【解析】A：当时，因为，所以，故A正确；
B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点）
当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为，
代入双曲线方程为，解得，此时弦长为，
由于不一定等于，故B错误；
C：若满足的直线恰有一条，
由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，
所以，
此时，故C正确；
D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，
所以，所以，
又，所以，故D正确；
故选：ACD.
11．已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A．为周期函数
B．的图象关于点对称
C．，，成等差数列
D．
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为R，由为偶函数，得，则，
由为奇函数，得，则，
于是，即，
对于A，，是周期为4的周期函数，A正确；
对于B，由，得的图象关于点对称，B错误；
对于C，，由，得，
因此，，成等差数列，C正确；
对于D，，因此
，D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为
【答案】8
【解析】田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为，
于是应该在男运动员中随机抽取(名)，
13．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ．
【答案】
【解析】由题意，，
则，则或，
当时，由于，则，
又，所以，不符合题意；
当时，由于，则，又，
在中，由正弦定理得，，
则，解得.
14．定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，
所以曲线（其中）的曲率
，
所以，
由，可得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【解】（1）由题意可知：平面∥平面，
且平面平面，平面平面，
所以.
（2）由题意可知：，平面，
如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量，
则，
令，则，
可得为平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，
令，则，
可得为平面的一个法向量；
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．（本小题满分15分）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，，讨论函数的单调性.
【解】（1），，则，
则，即切线斜率，
故切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，，
，
当时，，由，可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，
①当时，，当或时，，
即函数在和上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减；
②当时，则对任意的，即函数在上单调递增；
③当时，，
当或时，，即函数在和上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
17．（本小题满分15分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立.
(1)求该选手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望.
【解】（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件．
由题意知，，
所以
．
（2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，，
，
，
，
故的分布列是
．
18．（本小题满分17分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求；
(3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由.
【解】（1）设椭圆的标准方程为：，
，
椭圆的标准方程为：.
（2）方法一：点差法：
设，则①，
又在椭圆上，则，，
两式相减得：，
即：②，
由①②得，.
而.
方法二：椭圆方程代换：
设，直线，
①，
②，
又，即③，
由①②③得，；
方法三：联立方程：
设，直线，
①，
联立方程得，，
②，
由①②得，，则.
又，
.
（3）设，先求椭圆在点处的切线的方程.
方法一：根据判别式求解
椭圆在点处的切线，设，
联立方程得，，
，
，
，
.
，即.
同理可得，.
，可得T点的横坐标，即，
又，可得，，
由题意可知直线的斜率不为0，设.
，整理得，
，即.
又，则.
，即直线恒过定点.

方法二：导数的几何意义：
.
当点在时，.
，则切线斜率，
，
即.当点在时，同理可得.
，同理可得，.
，可得T点的横坐标，即，
又，可得，，
由题意可知直线的斜率不为0，设.
，整理得，
，即.
又，则.
，即直线恒过定点.
19．（本小题满分17分）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列，
(1)若数列，写出，并求.
(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由.
(3)若数列满足，求数列的个数.
【解】（1）因为，由变换的定义，
得.
所以.
（2）对于数列，
所以.
因为数列为数列，所以.
对于数列，令，
则对于数列中相邻的两项，
若，则；若，则.
记中有且个，则有个1，
则.
因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同，
所以不存在符合题意的数列.
（3）首先证明.
对于数列，有，
，
.
因为，
，
所以，故.
其次，由数列为数列可知，，解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次.
则数列中的个数为时，符合题意的数列都有个，
所以数列的个数为.
0
1
2
3
4