初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线背景图课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线背景图课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了P到OA的距离PD，P到OB的距离PE，P是角平分线上的点，几何语言描述，∴PDPE，不必再证全等，复习引入，角平分线的性质，几何语言，这个结论正确吗等内容，欢迎下载使用。
一）复习引入（5 分钟）​提问回顾角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。​复习角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。让学生用符号语言表述：若 OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD = PE。​展示生活中与角平分线相关的图片，如风筝骨架、建筑结构等，提问：我们已经知道了角平分线的性质，那么如何判定一条射线是一个角的平分线呢？由此引出本节课的课题 —— 角的平分线的判定。​（二）探究角平分线的判定定理（15 分钟）​情境创设​多媒体展示问题：如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处 500m。这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1:20000）？​引导学生思考：集贸市场到公路、铁路的距离相等，这与我们学过的角平分线的什么知识可能有关？如何确定这个点的位置？​猜想假设​让学生根据上述情境进行思考和讨论，提出自己的猜想：在角的内部，到角两边距离相等的点可能在这个角的平分线上。​实验验证​让学生拿出准备好的纸片，在纸上画一个∠AOB，在∠AOB 内部任意取一点 P，过点 P 分别作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，用直尺测量 PD 和 PE 的长度，比较它们是否相等。​再在∠AOB 内部另取几个点，重复上述操作，观察测量结果。引导学生发现：当点到角两边的距离相等时，这些点似乎在角的平分线上。​逻辑证明​已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE。​求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。​分析：要证明点 P 在∠AOB 的平分线上，即证明∠AOP = ∠BOP。可考虑通过证明以 PD、PE 为边的两个直角三角形全等，从而得到对应角相等。​证明过程：​连接 OP。​在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中：​∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）​∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直的定义）​又∵PD = PE（已知），OP = OP（公共边）​∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）​∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形的对应角相等）​即点 P 在∠AOB 的平分线上。​归纳总结​引导学生用文字语言和符号语言表述角平分线的判定定理：​文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。​符号语言：若点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE，则 OP 平分∠AOB。​（三）例题讲解（10 分钟）​例 1：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，点 D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。求证：AD 平分∠BAC。​分析：​已知 DE⊥AB，DF⊥AC，要证 AD 平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明 DE = DF。​由点 D 是 BC 的中点可得 BD = CD，再结合∠B = ∠C，可通过证明△BDE≌△CDF 得到 DE = DF。​证明过程：​证明：∵点 D 是 BC 的中点（已知）​∴BD = CD（中点的定义）​∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）​∴∠BED = ∠CFD = 90°（垂直的定义）​在△BDE 和△CDF 中：​∠B = ∠C（已知）​∠BED = ∠CFD（已证）​BD = CD（已证）​∴△BDE≌△CDF（AAS）​∴DE = DF（全等三角形的对应边相等）​又∵DE⊥AB，DF⊥AC​∴AD 平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）​例 2：如图，已知 BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE、CF 相交于点 D，BD = CD。求证：AD 平分∠BAC。​分析：​由 BE⊥AC，CF⊥AB，可得∠BFD = ∠CED = 90°。已知 BD = CD，再结合对顶角相等，可证明△BFD≌△CED，从而得到 DF = DE。​根据角平分线的判定定理，即可证明 AD 平分∠BAC。​证明过程：​证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB（已知）​∴∠BFD = ∠CED = 90°（垂直的定义）​在△BFD 和△CED 中：​∠BFD = ∠CED（已证）​∠BDF = ∠CDE（对顶角相等）​BD = CD（已知）​∴△BFD≌△CED（AAS）​∴DF = DE（全等三角形的对应边相等）​又∵DF⊥AB，DE⊥AC​∴AD 平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）​（四）课堂练习（10 分钟）​基础练习​已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，且 PC = PD。若∠AOB = 60°，则∠AOP = 。​如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F。求证：EB = FC。​能力提升​如图，已知∠B = ∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC。求证：AE 平分∠DAB。​已知：如图，在四边形 ABCD 中，BC＞AB，AD = CD，BD 平分∠ABC。求证：∠A + ∠C = 180°。​拓展应用​如图，三条公路两两相交，现计划修建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，这个加油站应建在何处？请在图中画出它的位置。​（学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。练习结束后，选取部分学生的作业进行展示，组织学生进行互评，共同纠正错误，强化对知识的理解和应用）​（五）课堂小结（3 分钟）​与学生一起回顾本节课所学的主要内容：​角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，以及其文字语言和符号语言的表述。​探究角平分线判定定理的过程，包括从实际问题出发提出猜想、实验验证和逻辑证明。​运用角平分线判定定理解决几何问题的思路和方法，如通过证明点到角两边的距离相等来判断点在角平分线上，进而解决相关的线段相等、角相等问题。​强调角平分线的性质定理和判定定理的区别与联系，鼓励学生在今后的学习中要准确区分、灵活运用。​（六）布置作业（2 分钟）​课本习题：[具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题。​拓展作业：​已知：如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的外角平分线相交于点 P。求证：点 P 在∠BAC 的平分线上。​让学生通过完成作业，进一步巩固角平分线的判定定理等知识，提高运用知识解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新意识。
1.通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力.2.在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心.
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD= PE.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点．
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
1.应用角平分线性质：
2.联系角平分线性质：
例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
A. 平行线之间的距离处处相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线上
三角形的角平分线相交于内部一点