(全国1卷}2025届 浙江高三第一学期新高考研究卷数学模拟试题[含解析}

这是一份(全国1卷}2025届 浙江高三第一学期新高考研究卷数学模拟试题[含解析}，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则的元素个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无数
2. 已知z为复数，则是的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D. 2π
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
7. 将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
8 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数可能没有零点B. 函数可能有一个零点
C. 函数一定是中心对称图形D. 函数可能是轴对称图形
10. 已知点M是抛物线与圆的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为2
B. 圆E与抛物线C至少有两条公切线
C. 若圆E与抛物线C的准线相切，则轴
D. 若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且，则
11. 设点P为正方体的上底面上一点，下列说法正确的有（ ）
A. 存在点P，使得与平面所成角
B. 存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于
C. 存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于
D. 存在点P，使得与平面所成角为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处取得最大值，则__________.
13. 已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得______.
14. 表示不超过x的最大整数，设，，则__________；__________（用M，N表示）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
（1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
（2）根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
16. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且.
（1）求的长（用a，b表示）；
（2）若双曲线的离心率，求证.
17. 设函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于.
18. 在四棱锥中，，，底面，点O在上，且.
（1）求证：；
（2）若，，点在上，平面，求值；
（3）若，二面角正切值为，求二面角的余弦值.
19. 在数列中，，，对满足的任意正整数m，n，p，q，都有成立.
（1）若数列是等比数列，求a，b满足的条件；
（2）若，，设.
①求数列的通项公式；
②求证：
【全国1卷】2025届浙江省高三上学期新高考研究卷数学试题
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则的元素个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无数
【正确答案】C
【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.
【详解】因为集合，，
则联立，解得或，
故，集合中有2个元素.
故选：C.
2. 已知z为复数，则是的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
【正确答案】C
【分析】根据复数的运算，复数的模及充要条件的定义即可判断.
【详解】设，则，
所以，
又，
所以，
所以是充要条件.
故选.
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D. 2π
【正确答案】B
【分析】先将解析式降幂，转化为含有一个三角函数的解析式，即可求得结果.
【详解】
，
则周期，
故选：B.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用条件概率公式和并事件概率性质求解即可．
【详解】由，，可知，，
又，所以，
所以.
故选：D
5. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】掌握平面向量的数量积.
【详解】,
,
,
又
,即,
,
,
.
故选：A.
6. 数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】由数列的周期性定义，逐项代入验证即可；
【详解】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误；
对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确；
对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误；
对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误；
故选：B.
7. 将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用古典概型的概率公式和平均分组分配的求解方法解决.
【详解】将名学生随机分成个小组的分法有种分法，
其中甲乙在同一组的分法有种分法，
所以学生甲乙在同一组的概率为，
故选： .
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】取对数并作差，得到，构造，，求导得到其单调性，求出，又lg11∈1,2,11lg11>5，比较出，又，作商法得到lnblnc=6511⋅ln11ln12>6511⋅23，又6511>1.24>2，从而得到，所以，综上，.
【详解】由得，故，
同理得，
故
，
又，令，，
则，
故在上单调递减，
且，故，即，
故，则，
而lg11∈1,2,11lg11>5，故lglga−lglgb=lg11lg11−lg1+11111>0，
故，
，
所以，
其中，，
故lnblnc=6511⋅ln11ln12>6511⋅23，
经过计算，6511>1.24>2，故lnblnc>6511⋅23>1，
所以，
综上，.
故选：D
比大小，经常用到一些放缩技巧，比如以下不等式要熟记，可以达到事半功倍的效果，，，，，等
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数可能没有零点B. 函数可能有一个零点
C. 函数一定是中心对称图形D. 函数可能是轴对称图形
【正确答案】BC
【分析】根据三次函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于AB，函数是一个三次函数，
其值域为，所以函数至少有一个零点，故A错误，B正确；
对于C，
，
则为定值，
所以函数的图象一定是中心对称图形，故C正确；
对于D，三次函数不可能时轴对称图形，故D错误.
故选：BC.
10. 已知点M是抛物线与圆的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为2
B. 圆E与抛物线C至少有两条公切线
C. 若圆E与抛物线C的准线相切，则轴
D. 若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且，则
【正确答案】ACD
【分析】根据题意，联立直线与抛物线的方程，结合抛物线与圆的位置关系以及抛物线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】联立方程组，消去可得，
解得，因为，，所以，
于是，则的最小值为2，故A正确；
此时圆与抛物线只有一条公切线为轴，故B错误；
若圆E与抛物线C的准线相切，则，即，
到准线的距离为4，所以轴，故C正确；
由可得，则为等边三角形，
又焦点到准线的距离为4，则，故D正确；
故选：ACD
11. 设点P为正方体的上底面上一点，下列说法正确的有（ ）
A. 存在点P，使得与平面所成角为
B. 存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于
C. 存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于
D. 存在点P，使得与平面所成角为
【正确答案】ABC
【分析】首先要明确正方体的性质以及线面角、点到平面距离的概念.对于线面角，如果直线垂直于平面，那么线面角为.对于点到平面的距离，可以通过等体积法等方法来求解.接下来通过对每个选项的分析来判断其正确性.
【详解】对于A选项，因为正方体中，平面，
当与重合时，平面就是平面.此时平面，
则与平面所成角为，所以A选项正确.
对于B选项，设正方体棱长为，，.
由于，设，到平面的距离分别为，，
为的面积.根据三棱锥体积公式（为底面积，为高），
可得.当为时，，所以B选项正确.
对于C选项，当为时,，到平面的距离之和最小，到平面距离为0,
到平面距离为到平面的距离,等于，所以C选项正确.
对于D选项，当为时, 与平面所成角最小，,
则.所以D选项错误.
故选：ABC.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处取得最大值，则__________.
【正确答案】
【分析】根据辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值，并确定取最大值时自变量的值，由此可求.
【详解】因为，
设，，
则，，
当，时，
即当，函数取最大值，最大值为，
所以，
所以.
故答案为.
13. 已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得______.
【正确答案】.
【分析】利用换元法和对数运算性质将所求式子化简为的结构，即可求得.
【详解】令，则，，则，
因为，
则.
故答案为.
14. 表示不超过x最大整数，设，，则__________；__________（用M，N表示）.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】结合近似计算以及x的含义即可求得第一空答案；利用二项式展开式，结合第一空的近似计算，即可求得第二空答案.
【详解】因为，
故；
又为正整数，
所以
，而，
故，
故；
关键点点睛：解答本题的关键是利用二项式展开式得出为正整数，从而解决问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
（1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
（2）根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
【正确答案】（1）
（2）乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
【分析】（1）由正太分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解；
（2）由正太分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断.
【小问1详解】
由题意可知甲校学生数学得分，
由，
可得，则，
所以分数在70分及以下的学生有，
所以学生小A被抽到概率
【小问2详解】
由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率为，
得分不高于58分的概率为，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
16. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且.
（1）求的长（用a，b表示）；
（2）若双曲线的离心率，求证.
【正确答案】（1）
（2）证明过程见解析
【分析】（1）两点都在双曲线右支上，设，结合双曲线定义表达出其他边长，利用和余弦定理得到方程，求出，得到；
（2）在中，由正弦定理得到，结合（1）中和，得到，在求出，为锐角，故.
【小问1详解】
，故两点都在双曲线右支上，
设，则，
由双曲线定义知，，
因为，所以，
由余弦定理得，
化简得，所以；
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
由（1）知，，故，
又，故，
且，所以，
所以为锐角，故.
17. 设函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简即可；
（2）令，将恒成立问题转化为恒成立，求导，利用导数研究的单调性，然后求得，进一步构造函数，利用导数研究其单调性，求出的m范围，即可证明.
【小问1详解】
由题意，所以切线斜率，
又，所以函数在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
令，则，
所以恒成立等价于恒成立，，
当，则在0,+∞上单调递增，而，不符合题意.
当，由得，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
令，则ℎ1=0，又由得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
而，，所以，
所以m的最大值与最小值之差大于.
18. 在四棱锥中，，，底面，点O在上，且.
（1）求证：；
（2）若，，点在上，平面，求的值；
（3）若，二面角的正切值为，求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）先证明，结合直角三角形性质证明，由此证明，再根据勾股定理证明结论；
（2）连接交于点，根据线面平行性质定理证明，求，根据平行线性质求结论；
（3）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求结论.
【小问1详解】
连接，
因为底面，平面，
所以，即，
又，，所以，
所以，故
又，
所以，，
又，所以，
因为底面，平面，
所以，
又，
所以；
【小问2详解】
连接交于点，连，
因平面，平面平面，平面，
所以，故，
因为，，
所以，故四边形是圆内接四边形，
又，所以，
因，，点为的中点，
所以，，
故，设，
则，，
在中，
由余弦定理可得，
所以，于是；
【小问3详解】
以点为原点，，，为，，轴正方向建立如图所示的坐标系，
则 ,
所以 ,
设n1=x1,y1,z1为平面的法向量,
所以，
故，令，则，
所以为平面的一个法向量，
过点作于，
因底面，平面，
所以，，平面，
所以平面，平面，
所以，
故二面角的平面角为，
由已知，
所以，于是 ，，
又，所以，又，
所以，故，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
所以点的坐标为，
所以，
设平面的法向量，
所以，
两式相减得，
令，则，
所以为平面的一个法向量，,
所以，
观察可得二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
19. 在数列中，，，对满足的任意正整数m，n，p，q，都有成立.
（1）若数列是等比数列，求a，b满足的条件；
（2）若，，设.
①求数列的通项公式；
②求证.
【正确答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【分析】（1）由题意推出，即得，从而可解；
（2）①由条件可推出，结合等比数列通项公式，即可求得答案；
②由题意可得，从而，先证明，再讨论n的奇偶性，结合放缩法，即可证明结论.
【小问1详解】
因为数列an是等比数列，设其公比为t，且满足，
则，结合，可得，
所以，
故，即a，b满足的条件为；
【小问2详解】
①由，得，
结合，，故，即，
故是以为首项，公比为2的等比数列，
故；
②由①知，故；
先证，即证，
即证，即证，
而恒成立，
故总成立，
当n为奇数时，，
即；
当n为偶数时，，
而 ，
即；
综合上述可知.
关键点睛：解答本题的关键在于第二问的数列不等式证明时，要结合分类讨论n的奇偶性以及放缩法进行解决