[数学]浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
【答案】A
【解析】令，则，
所以.
故选：A.
2. 已知，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为，
且，所以.
故选：C.
3. 已知长方体中，，则四面体的体积是（ ）
A. B. 16C. D. 32
【答案】A
【解析】如图所示：
可知四面体即为长方体中去掉4个全等的三棱锥，
所以四面体的体积为.
故选：A.
4. 设，是单位向量，则的最小值是（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】设，的夹角为，
因，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是1.
故选：D.
5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.
由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，
所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为.
故选：C.
6. 若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由1，，成等差数列，可得，，
当时，，解得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
化为，
由，即有，
是3为首项，2为公差的等差数列，可得，
对A，，
，
与数列不互为交错数列，故A选项错误；
对B，由，可得，
与数列不互为交错数列，故B选项错误；
对C，由，
，
与数列不互为交错数列，故C选项错误；
对D，由可得
，
与数列互为交错数列，故D正确．
故选：D．
7. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A. B.
C. 6D.
【答案】B
【解析】设，则，，，

由，可得，则，有，
所以，
当且仅当，即时取等号．
则椭圆长轴长的最小值是.
故选：B．
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，整理可得，则，
如图所示：
且当2-1-122，
可知：与有3个交点，依次为，
可知的解集为，即，
此时，可得，则，
即，整理可得，
注意到20>2×0,2-120，解得，不合题意；
若，即，则，解得；
综上所述：，
则，即.
19. 设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．
（1）已知存在正整数，满足，，2，…，，，
①求（用含的表达式表示）；
②证明：数列的信息熵小于2；
（2）请写出，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．
（1）①解：由，
两式相减得：，所以，.
由，所以.
所以，，，…，，，
以上各式相乘得：.
②证明：当时，；而当时，，
所以，
所以
两式相减，得：，
所以数列的信息熵小于2.
（2）解：因为，，，所以：，.
所以，当时，，，，，
因为，故猜测：.
证明如下：
设（），则（），
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
所以（）即（当且仅当时取“”）
首先：易知，所以，故.
则.
又，所以，所以
则，
因为，所以即.
所以，得证.
所以：.