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专题1-1 基本不等式归类（16题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）
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这是一份专题1-1 基本不等式归类（16题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题1-1基本不等式归类原卷版docx、专题1-1基本不等式归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 公式基础 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 题型02 基础模型：倒数型 PAGEREF _Tc22731 \h 2
\l "_Tc394" 题型03 常数代换型 PAGEREF _Tc394 \h 3
\l "_Tc1766" 题型04 积与和型 PAGEREF _Tc1766 \h 4
\l "_Tc8506" 题型05 积与和互化解不等式型 PAGEREF _Tc8506 \h 4
\l "_Tc6010" 题型06 构造分母和定型 PAGEREF _Tc6010 \h 5
\l "_Tc22452" 题型07 凑配系数构造分母和定型 PAGEREF _Tc22452 \h 5
\l "_Tc5641" 题型08 换元构造分母和定型 PAGEREF _Tc5641 \h 6
\l "_Tc26157" 题型09 分子与分母互消型 PAGEREF _Tc26157 \h 7
\l "_Tc31686" 题型10 “1”代换综合型 PAGEREF _Tc31686 \h 7
\l "_Tc29336" 题型11 分子消去型 PAGEREF _Tc29336 \h 8
\l "_Tc19008" 题型12 消元型 PAGEREF _Tc19008 \h 8
\l "_Tc9764" 题型13 齐次化构造型 PAGEREF _Tc9764 \h 9
\l "_Tc25684" 题型14 三角换元构造型 PAGEREF _Tc25684 \h 9
\l "_Tc1246" 题型15 因式分解双换元型 PAGEREF _Tc1246 \h 10
\l "_Tc24543" 题型16 配方型 PAGEREF _Tc24543 \h 11
\l "_Tc28460" 高考练场 PAGEREF _Tc28460 \h 11
题型01 公式基础
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（ ）
A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 基础模型：倒数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为
A．0B．C．D．
题型03 常数代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为 ．
【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是 .
题型04 积与和型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A．16B．6C．18D．12
【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（ ）
A．18B．15C．20D．13
【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
题型05 积与和互化解不等式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（ ）
A．4B．9C．16D．25
【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（ ）
B．C．D．
题型06 构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足，则的最小值为 .
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .
题型07 凑配系数构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知，，且，则的最小值为 .
【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2021·三课时练习）已知，则的最小值为 .
题型08 换元构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的最小值为 .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为 .
题型09 分子与分母互消型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是 .
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是 .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
题型10 “1”代换综合型
【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于 .
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是
【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为 ．
题型11 分子消去型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若，，，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．6C．7D．
【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
题型12 消元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14B．C．8D．
【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为 ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .
题型13 齐次化构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为
A．B．C．D．2
【变式1-2】函数的最大值为（ ）
A.B.C.D.
【变式1-3】已知，，则的最大值是 ．
【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为____
.
题型14 三角换元构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ．
题型15 因式分解双换元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知且满足，则的最小值是 .
题型16 配方型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设，，若，则的最大值为 ．
高考练场
1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴；
②∵x，y为正实数，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正确的推导为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值D．有最大值为，无最小值
3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且，则的最小值为 ．
4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知，且，，则的最小值为 .
7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 ．
8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，，且，则的最小值为 .
9.（2023·全国·高三专题练习）已知、，且，则的取值范围是 .
10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
11.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
12.（2023春·天津和平·高三统考）已知，则的最小值是 ．
13.（2023·高三单元测试）函数的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为 .
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
倒数型：
，或者
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换
条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1）求
（2）求
积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。
形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。
其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。
换元型构造分母和定型：
形如型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。
满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
消元型：
对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 公式基础 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 题型02 基础模型：倒数型 PAGEREF _Tc22731 \h 2
\l "_Tc394" 题型03 常数代换型 PAGEREF _Tc394 \h 3
\l "_Tc1766" 题型04 积与和型 PAGEREF _Tc1766 \h 4
\l "_Tc8506" 题型05 积与和互化解不等式型 PAGEREF _Tc8506 \h 4
\l "_Tc6010" 题型06 构造分母和定型 PAGEREF _Tc6010 \h 5
\l "_Tc22452" 题型07 凑配系数构造分母和定型 PAGEREF _Tc22452 \h 5
\l "_Tc5641" 题型08 换元构造分母和定型 PAGEREF _Tc5641 \h 6
\l "_Tc26157" 题型09 分子与分母互消型 PAGEREF _Tc26157 \h 7
\l "_Tc31686" 题型10 “1”代换综合型 PAGEREF _Tc31686 \h 7
\l "_Tc29336" 题型11 分子消去型 PAGEREF _Tc29336 \h 8
\l "_Tc19008" 题型12 消元型 PAGEREF _Tc19008 \h 8
\l "_Tc9764" 题型13 齐次化构造型 PAGEREF _Tc9764 \h 9
\l "_Tc25684" 题型14 三角换元构造型 PAGEREF _Tc25684 \h 9
\l "_Tc1246" 题型15 因式分解双换元型 PAGEREF _Tc1246 \h 10
\l "_Tc24543" 题型16 配方型 PAGEREF _Tc24543 \h 11
\l "_Tc28460" 高考练场 PAGEREF _Tc28460 \h 11
题型01 公式基础
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（ ）
A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 基础模型：倒数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为
A．0B．C．D．
题型03 常数代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为 ．
【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是 .
题型04 积与和型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A．16B．6C．18D．12
【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（ ）
A．18B．15C．20D．13
【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
题型05 积与和互化解不等式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（ ）
A．4B．9C．16D．25
【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（ ）
B．C．D．
题型06 构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足，则的最小值为 .
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .
题型07 凑配系数构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知，，且，则的最小值为 .
【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2021·三课时练习）已知，则的最小值为 .
题型08 换元构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的最小值为 .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为 .
题型09 分子与分母互消型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是 .
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是 .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
题型10 “1”代换综合型
【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于 .
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是
【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为 ．
题型11 分子消去型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若，，，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．6C．7D．
【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
题型12 消元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14B．C．8D．
【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为 ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .
题型13 齐次化构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为
A．B．C．D．2
【变式1-2】函数的最大值为（ ）
A.B.C.D.
【变式1-3】已知，，则的最大值是 ．
【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为____
.
题型14 三角换元构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ．
题型15 因式分解双换元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知且满足，则的最小值是 .
题型16 配方型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设，，若，则的最大值为 ．
高考练场
1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴；
②∵x，y为正实数，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正确的推导为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值D．有最大值为，无最小值
3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且，则的最小值为 ．
4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知，且，，则的最小值为 .
7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 ．
8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，，且，则的最小值为 .
9.（2023·全国·高三专题练习）已知、，且，则的取值范围是 .
10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
11.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
12.（2023春·天津和平·高三统考）已知，则的最小值是 ．
13.（2023·高三单元测试）函数的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为 .
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
倒数型：
，或者
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换
条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1）求
（2）求
积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。
形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。
其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。
换元型构造分母和定型：
形如型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。
满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
消元型：
对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
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