山西省忻州市部分学校2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山西省忻州市部分学校2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（ ）
A．元B．元C．元D．元
2．下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．58°C．60°D．69°
6．若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点D，连接．若平分，，则线段的长是（ ）
A．2B．C．D．
8．小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》3本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
二、填空题
11．实数 0（填、或）．
12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“浙”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边，上，且，“浙”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号)．
13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ．
14．一个扇形纸片的圆心角为，半径为，则这个扇形纸片的面积为 ．
15．如图，在矩形中，点是延长线上的一点，连接，，点是边的中点，的延长线交于点，若，，则线段的长为 ．
三、解答题
16．计算及化简：
(1)计算：；
(2)化简：．
17．小聪用元钱去购买笔记本和钢笔．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．
(1)若小聪已经购买了支钢笔，问最多还能买几本笔记本？
(2)若小聪想购买笔记本和钢笔共件，问最多能买几支钢笔？
18．某学校从八年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出下面的统计表和如图的统计图．已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1） ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
19．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话：
(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案．
20．数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为已知斜坡的坡比为点E，C，B在同一水平线上

(1)求点D到地平线的距离．
(2)求大树的高度参考数据：，，
21．阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______．
(2)请将小明的证明过程补充完整．
(3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
22．学科实践
驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名.学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计.
研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米；
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米
问题解决；请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)以线段所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
(2)为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距.
23．如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
【数学思考】
（1）折痕的长为 ；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
【数学探究】
（3）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，的长为 ；
②如图3，当直线时，求的长；
【问题延伸】
（4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的最小值为 ．
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：
如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？
下面是我的解题步骤：
如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧；
第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点；
第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等．
下面是部分证明过程：
证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点．
由作图可知，，
四边形ABDC是平行四边形．（依据）
．（依据）
……
于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．
《山西省忻州市部分学校2025年中考一模数学试卷 》参考答案
1．D
解：如果收入元记作元，那么支出元应记作元．
故选：D．
2．B
解：A、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、该图标不是中心对称图形，本选项符合题意；；
C、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；；
D、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；．
故选：B．
3．C
解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．A
解：由题意得，
该几何体的俯视图是：
故选：．
5．D
解：如图所示，
∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，
∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，
∴∠5＝42°，
由折叠的性质可知，∠2＝∠3，
∵∠2＋∠3＋∠5＝180°，
∴∠2＝69°，
故选：D．
6．D
设正比例函数的解析式为，
因为正比例函数的图象经过点，
所以，
解得：，
所以，
将代入得，，故A选项错误；
将代入得，，故B选项错误；
将代入得，，故C选项错误；
将代入得，，故D选项正确．
故选：D．
7．C
解：连接，
与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
8．A
解：如图，画出树状图，
∴共有6种等可能的结果，其中恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的结果数为2种，
∴恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率．
故选：A．
9．B
由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大，妈妈出门追至追上小明这段时间，y随x的增大而减小，停留阶段，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大；
故选：B．
10．D
解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，

∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
11．
解：，
，
，
，
故答案为：．
12．/
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：．
13．
解：由图象，设，
把代入，得：，
∴，
当时，，
∵随着的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；
故答案为：．
14．
解：扇形的面积为；
故答案为：
15．/
解：过点E作于H，交于P，如图，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴即，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
17．(1)小聪最多还能买本笔记本
(2)最多能买支钢笔
（1）解：设小聪还能买x本笔记本，由题意得，
，
解得：，
∴小聪最多还能买本笔记本，
答：小聪最多还能买本笔记本；
（2）解：设小聪想购买钢笔m支，则购买笔记本本，
由题意得：，
解得：，
答：最多能买支钢笔．
18．（1）3，8.5，8；（2）乙组的成绩更加稳定
解：（1）（人，
把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位教是（分，
乙组成绩8分出现的次数最多，出现了9次，
则乙组成绩的众数是8分．
故答案为：3，8.5，8；
（2）乙组的方差是：
；
甲组的方差是：
，
乙组的成绩更加稳定．
19．(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元
(2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型
（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，
根据题意得，
解得，
答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元；
（2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，
根据题意得，
，
，均为正整数，
当时，；
当时，，
有2种购买方案如下：
①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；
②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型．
20．(1)点D到地平线的距离为4米；
(2)大树的高度是米．
（1）解：如图，过点D作于点H，则，

由题意知米，
斜面CF的坡比为，
，
设米，则米，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
米，
点D到地平线的距离为4米；
（2）解：如图2，过点D作于点G，设米，

由（1）得：米，
米，
，
四边形为矩形，
米，米，
，
米，
米，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的解，
米，
答：大树的高度是米．
21．(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
(2)证明过程补充完整见解析
(3)（答案不唯一）见解析
（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
平行四边形的对角线互相平分
（2），，
，
，
（3）
22．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
(2)彩旗队每相邻两列的间距为 1.6 米
（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
设所求抛物线的函数表达式为，
由题可知，，
点N的坐标为，点C的坐标为，，
将代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，垂足为点，分别交抛物线于点，
由题意可知，（米），
点的纵坐标均为4，
当时，，
解得，
点的坐标分别为和，
最外侧两列彩旗队之间的距离为（米），
（米），
答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米．
23．（1）3；（2），证明见解析；（3）①；②3；（4）2
解：（1）由折叠的性质得：，，
∴，
∴
∴，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3；
（2），证明如下：
如图1，连接，
由旋转的性质得：，，
在和中，
，
，
∴；
（3）①由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
即，
解得： ，
∴，
故答案为：；
②如图3，过A作于H，交于K．
则四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（4）如图4，连接，
则，
当A、F、D三点共线时， ，
此时的值最小，最小，
∵， ，
∴，
∵，
∴的最小值，
故答案为：2．