黑龙江省哈尔滨市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析）

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高二数学试卷
出题人：高二数学组 审题人：贺阳
考试时间：120 分钟 分值：150 分
第Ⅰ卷 选择题（58 分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 已知 机器中有 7 个娃娃， 机器中有 8 个娃娃，且这 15 个娃娃互不相同，某人从 ， 机器中分别抓
取 1 个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（ ）
A. 15 种 B. 30 种 C. 45 种 D. 56 种
【答案】D
【解析】
【分析】运用分步乘法计数原理计算得到总的不同情况数.
【详解】已知 机器中有 个娃娃，那么从 机器中抓取 个娃娃，就有 种不同的情况.
已知 机器中有 个娃娃，那么从 机器中抓取 个娃娃，就有 种不同的情况.
根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为 （种）.
故选：D
2. （ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 40
【答案】C
【解析】
分析】由组合数公式计算求解即可.
【详解】 ，
故选：C
3. 180 的不同正因数的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 18
【答案】D
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【解析】
【分析】把 180 进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．
【详解】因为 ，它的正因数即为 的幂的乘积，
因此正因数个数为 .
故选：D.
4. 7 个相同的小球，任意放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法种数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】将 7 个相同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，即把 7 个相同的球分成 4 组，
利用隔板法即可的解.
【详解】将 7 个相同的球放入 4 个不同的盒子中，即把 7 个相同的球分成 4 组，
因为每个盒子都有球，
所以每个盒子至少有一个球，不妨将 7 个球摆成一排，中间形成 6 个空，
只需在这 6 个空插入 3 个隔板将它们隔开，即分成 4 组，不同插入方法共有 种，
所以每个盒子都有球的放法种数为 20.
故选：A.
5. 4 本不同的书分给 3 人，每人至少 1 本，共有（ ）种不同的分法.
A. 36 B. 24 C. 18 D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】选 2 本捆绑作为一本书与其它 2 本书一起分给三个人．
【详解】由题意有 1 人分得 2 本书，方法数为 ，
故选：A．
6. 在某班学生考试成绩中，数学不及格的占 ，语文不及格的占 ，两门都不及格的占 ．已知一
名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ）
A. 0.2 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.6
【答案】A
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【解析】
【分析】直接由条件概率公式即可求解.
【详解】由题意设事件 “一名学生数学不及格”， “该名学生两门都不及格”，
则所求为 .
故选：A.
7. 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. 100 D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】解法一，利用二项式的通项公式即可求得答案；
解法二：考虑 中选取 ，或选取 ，确定 的展开式中选取什么项，可得到 项，即可
求得答案.
【详解】解法一，由于 的展开式的通项 ，
故 的展开式中 的系数为 ；
解法二，若 中选取 ，则在 的展开式中选取含 的项，
即 ，二者相乘得 ；
若 中选取 ，则在 的展开式中选取含 的项，
即 ，二者相乘得 .
故 的展开式中 的系数为 ，
故选：A.
8. 今天是星期日，再过 天是星期几（ ）
A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五
【答案】C
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【解析】
【分析】由二项式定理将 展开，由 能被 整除，只需看 除以 的余数，再将展开
展开，可得到余数，进而得解.
【详解】因为 ，
由 能被 整除，则上式前 项都能被 整除，
只需看最后一项 除以 的余数，
由 ，
则 除以 的余数为 ，
所以今天是星期日，再过 天，是星期四.
故选：C.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分．）
9. 已知 的展开式共有 7 项，则（ ）
A.
B. 二项式系数和为 64
C. 展开式的所有项的系数和为 1
D. 含 项的系数为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知得 ，进而求出二项式系数和、所有项的系数和判断 A、B、C；利用展开式通项求
含 项的系数.
【详解】由 的展开式共有 7 项，则 ，故二项式系数和为 ，A 错，B 对；
令 ，则展开式所有项的系数和为 ，C 对；
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展开式的通项公式为 ，
若 ，则含 项的系数为 ，D 对.
故选：BCD
10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 6 位男生，4 位女生进入决赛.现通过抽签决定出场
顺序，记事件 A 表示“第一位出场的是女生”，事件 B 表示“第二位出场的是女生”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选
项 A 错误，C 正确；利用条件概率公式可得选项 B 正确；根据和事件的概率公式可得选项 D 正确.
【详解】A.由题意得， ，A 错误.
B.由题意得， ，
∴ ，B 正确.
C.对于事件 B 可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二
位出场的是女生，
∴ ，
∴ ，C 正确.
D. ，D 正确.
故选：BCD.
11. 现有 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的球和 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的盒子，把球全部放入
盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有 120 种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有 1200 种放法
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C. 每个盒子内只放一个球，恰有 1 个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有 45 种
D. 将 5 个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有 5 种
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意，根据不同的放法，可得 A 的正误；根据分组分配的计算方法，可得 B 的正误；根据分步
乘法原理以及分类加法原理，可得 C 的正误；利用隔板法，可得 D 的正误.
【详解】对于 A，每个球都有 个选择，则情况数为 ，故 A 错误；
对于 B，先选出一个盒子不放球，其情况数为 ，
将五个球分成四组，其情况数为 ，
将分好的四组球分配到剩下四个不同的盒子里，其情况数为 ，
所以总共的情况数为 ，故 B 正确；
对于 C，先选出一个球放在编号相同的盒子里，其情况数为 ，
对于剩下 四个球中，符合题意的情况数为 ，
所以总的情况数为 ，故 C 正确；
对于 D，先选出一个盒子作为空盒，则其情况数为 ，
五个相同的球分为四组，必有一组为两个球，
则从剩下的四个盒子中选出一个，放两个球，则其情况数为 ，
所以总共情况数为 故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 已知 正整数，若 ，则 __________．
【答案】3 或 7
【解析】
【分析】根据组合数的定义和性质分析求解即可.
【详解】因为 ，则 ，解得 ，
由组合数性质可知： 或 ，解得 或 ．
故答案为：3 或 7.
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13. 已知某射箭场馆共需要 6 名志愿者，其中 3 名会说韩语，3 名会说日语．目前可供选择的志愿者中有 4
人只会韩语，5 人只会日语，另外还有 1 人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数
字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】对选出的 3 名会说韩语的志愿者分为 2 种情况讨论即只会韩语中选 3 人和选 2 人，分别求出其方
法总数即可得出答案.
【详解】若从只会韩语中选 3 人，则 种，
若从只会韩语中选 2 人，则 种，
故不同的选人方案共有 种．
故答案为：
14. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每
四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第 24 届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古
代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中 5 个区域涂色，
要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有 5 种不同的颜色可供使用，则不同的
涂色方案有__________种．
【答案】420
【解析】
【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂 5 块区域至少需要 3 种颜色，然后对使用的颜色种数进
行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.
【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂 5 块区域至少需要 3 种颜色，
若 5 块区域只用 3 种颜色涂色，则颜色的选法有 种，相对的直角三角形必同色，
此时不同的涂色方案有 种；
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若 5 块区域只用 4 种颜色涂色，则颜色的选法有 种，其中一对相对的直角三角形必同色，
余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有 种；
若 5 块区域只用 5 种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有 种；
综上，不同的涂色方案有： 种.
故答案为：420
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设 ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令 ，即可求得 .
（2）令 ，求得 ，结合 ，即可求解.
（3）令 和 ，分别求得 和 ，结合
，即可求解.
【小问 1 详解】
解：由 ，
令 ，可得 .
【小问 2 详解】
解：令 ，可得 ，
所以 .
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【小问 3 详解】
解：令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以
16. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的 和
，且四条流水线的产品不合格率分别为 和 ，现从该厂的这一产品中任取一件.
（1）问抽到不合格品的概率是多少?
（2）在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 A 表示“任取一件产品，抽到不合格品”， 表示“任取一件产品，结果是第 条流水线
的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解.
（2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可.
【小问 1 详解】
设 A 表示“任取一件产品，抽到不合格品”，
表示“任取一件产品，结果是第 条流水线的产品”， ，
由题意， ， ， ， ，
且 ， ， ， ，
从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：
.
小问 2 详解】
结合第（1）问知 .
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17. 小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从 10 道题中随机抽出 5 道题，若考生至少能答对
其中 3 道题即可通过，至少能答对其中 4 道题就获得优秀．已知小明能答对 10 道题中的 5 道题，并且知道
他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【答案】
【解析】
【分析】依题意记事件 为“小明 5 道题全答对”，事件 为“小明答对了其中 4 道题，另 1 道题答错”，事件
为“小明答对了其中 3 道题，另 2 道题答错”，
事件 为“小明在这次测试中通过”，事件 为“小明在这次测试中获得优秀”，即可求出 、 、
，再根据条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：记事件 为“小明 5 道题全答对”，
事件 为“小明答对了其中 4 道题，另 1 道题答错”，
事件 为“小明答对了其中 3 道题，另 2 道题答错”，
事件 为“小明在这次测试中通过”，
事件 为“小明在这次测试中获得优秀”，
则 ， ， 两两互斥，且 ， ，
可知
，
，
，
则
，
故小明在这次测试已经通过的条件下，获得优秀成绩的概率为 ．
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18. 已知在 的展开式中，前 3 项的系数分别为 ，且满足 .求：
（1）展开式中二项式系数最大项的项；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）展开式中所有有理项.
【答案】（1）
（2） 和
（3） 和
【解析】
【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求 ，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的
项；
(2)设第 项系数最大，列不等式组求 ，由此确定系数最大的项；
(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.
【小问 1 详解】
因为 展开式的通项公式为 ， ，
所以
依题意得 ，即 ，由已知 ,
所以 ，
所以 的展开式有 9 项，二项式系数最大的项为第 5 项，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
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设展开式中系数最大的项为第 项，则 ，
即 ，即 ，
解得 ，所以 或 ，
所以展开式中系数最大的项为 和 .
【小问 3 详解】
由 为有理项知， 为整数，得 ， ，
所以展开式中所有有理项为 和 .
19. 小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为 0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击
中靶的概率为 0.9，否则中靶概率为 0.7.
（1）求小明射击 3 次恰有 2 次中靶的概率；
（2）①分别求小明第 2 次，第 3 次中靶的概率.
②求小明第 n 次中靶的概率.
【答案】（1）
（2）①第 2 次中靶的概率为 ，第 3 次中靶的概率为 ；②小明第 n 次中靶的概率为
【解析】
【分析】（1）根据题意，将 3 次射击恰有 2 次中靶分成三种情况分别计算概率，然后将概率相加即可；
（2）①将第 2 次中靶分成第一次中靶和第一次未中靶两种情况分别计算即可，同理可得第 3 次中靶的概率；
②小明第 n 次中靶的概率是由第 次中靶和未中靶两种情况组成，可通过构造数列求得结果.
【小问 1 详解】
小明射击 3 次恰有 2 次中靶包括以下三种情况：
第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为 ；
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第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为 ；
第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为 ;
所以，小明射击 3 次恰有 2 次中靶的概率为
【小问 2 详解】
小明第 2 次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为 ；
第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为 ；
所以，小明第 2 次中靶的概率为 .
因此，小明第 2 次未中靶的概率为
同理，第 3 次中靶的概率包括以下两种情况：
第一种：第二次中靶、第三次也中靶，其概率为 ；
第二种：第二次未中靶、第三次中靶，其概率为 ；
则小明第 3 次中靶的概率为
②设小明第 n 次中靶的概率为 ，则第 次中靶的概率为 ，
第 n 次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第 次中靶，第 n 次也中靶，其概率为 ；
第二种：第 次未中靶，第 n 次中靶，其概率为 ；
第 n 次中靶的概率
即 ，即数列 是以 为首项， 为公比 等比数列；
所以 ，即
当 时， 符合该式；
所以，小明第 n 次中靶的概率为
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