吉林省长春市朝阳区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试卷(含答案与解析)

这是一份吉林省长春市朝阳区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试卷(含答案与解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，属于一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.解二元一次方程组时，由①-②可得( )
A. B. C. D.
3.2024年4月26日“吉林省第六届STEM教育发展大会”在长春召开是科学技术、工程、数学四门学科英文首字母的缩写.这四个英文字母中，可以看成是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是
A. 两点之间，线段最短
B. 三角形的稳定性
C. 三角形的内角和等于
D. 三角形的任意两边之和大于第三边
5.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( )
A. 正方形和正八边形B. 正五边形和正六边形
C. 正方形和正五边形D. 正三角形和正八边形
6.某商品标价为x元，若打八折后再降价12元，售价为108元，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在直角三角形ABC中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点E落在AB上，延长DE交BC于点给出下面四个结论：①≌；②；③；④若，，连结BD，则的面积是上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知三角形两边长分别为1和4，则第三边长可以是______写出一个即可
10.等边三角形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角度的大小至少为______
11.若中，，则此三角形是______三角形．
12.甲、乙两人检修一条长180米的管道，甲每小时检修15米，乙每小时检修10米，若甲先检修2小时后，再由甲、乙两人合作完成整条管道检修，则甲共检修管道______小时.
13.将长方形直尺与正五边形纸板按照如图位置摆放.若，则的大小为______.
14.如图，在中，点D是BC边的中点，AE：：若的面积为10，则的面积为______.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题6分
解方程：
16.本小题6分
解不等式组：
17.本小题6分
已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数.
18.本小题7分
如图，在中，，将沿着BC方向平移得到已知，，，且DE交AC于点
求线段HE的长.
图中阴影部分的面积为______.
19.本小题7分
小华从A地步行到B地，然后从B地骑自行车返回A地，共用了2小时.已知小华骑自行车的速度为，步行的速度为，求A、B两地之间的距离.
20.本小题7分
如图，D是的BC边上一点，，，
求：的度数；
的度数．
21.本小题8分
如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹.
在图①中，画出线段，使与OA关于直线l成轴对称.
在图②中，画出的对称轴.
在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使
22.本小题9分
【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点D是边AB上任意一点，作射线DC，点M、N分别在线段AC、BC上.将折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，点E、F均在射线DC上，折痕分别为DM和设，
【问题探究】当点E、F均在线段DC上时，、与之间的数量关系不必作答
【问题解决】经过讨论.小组问学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某问学做如下尝试：如图②，令，若点E恰好与点C重合，此时______，若点F在线段DC上，当时，______
合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问图，如图①.当点E，F均在线段DC上时，可以沿出，与之间的数量关系为：下而是证明过程：
证明：______，
是的外角，
，
又由折叠可知，______，
同理：______.
，
即
【迁移应用】在背景呈现的条件下，解答下列问题：
如图③，当点E、F均在线段DC的延长线上时，、与之间的数量关系为：______；
若，点E，F在射线DC上，且位于点C异侧，当时，______.
23.本小题10分
为了激发学生个人潜能和团队精神，学校组织七年级师生共490人去长春净月潭国家风景名胜区开展素质拓展活动.某租车公司有A、B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位.下表是公司租车记录单上的部分信息：
根据公司租车记录单上的信息，求A、B两种型号客车每辆的租车费用分别是多少元？
学校本次活动要租用该租车公司的客车，可以租用A、B两种型号的客车，也可以单独租用A型客车或B型客车.
①当每辆客车恰好都坐满时，求所有满足条件的租车方案.
②当满足全体师生乘车均有座位时，租车的总费用最少为______元.
24.本小题12分
如图①，在中，，，边BC在直线l上.以点C为旋转中心，将直线l顺时针旋转到直线，交AB于点E，以CE为直角边作直角，使，，点F和点A始终在直线的同侧.设
当时，______.
当时，______
当时，求的大小.
当与重叠部分为直角三角形时，直接写出的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：本选项是不等式，故本选项不符合题意；
B.本选项是分式方程，故本选项不符合题意；
C.本选项是一元一次方程，故本选项符合题意；
D.本选项是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：
根据一元一次方程的定义逐一判断即可．
本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：①-②，得，
故选：
①-②得出，再去括号，合并同类项即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】B
【解析】解：利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：
由三角形的稳定性，即可得到答案．
本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性．
5.【答案】A
【解析】解：A、正方形和正八边形内角分别为、，，能构成的周角，故能铺满，符合题意；
B、正五边形和正六边形内角分别为、，不能构成的周角，故不能铺满，不符合题意；
C、正方形和正五边形内角分别为、，不能构成的周角，故不能铺满，不符合题意；
D、正三形和正八边形内角分别为、，不能构成的周角，故不能铺满，不符合题意．
故选：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得，
故选：
直接根据打八折后再降价12元，售价为108元，进而得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：，
，，
所以选项A、C、D错误，不符合题意，选项B正确，符合题意，
故选：
根据不等式的基本性质进行判断即可求解．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变．
8.【答案】C
【解析】①旋转，
≌，
故①正确；
②≌，
，
，
故②错误；
③≌，
，
，
，
故③正确．
④≌，
，，
，
故④正确．
综上，①③④正确，
故选：
根据题干得出≌，再根据全等三角形的性质一一判断即可．
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、三角形内角和及面积公式等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9.【答案】答案不唯一
【解析】解：三角形的两边长分别为1和4，
第三边x的长度范围为：，即：，
第三边的长度可能是：答案不唯一
故答案为：答案不唯一
由三角形的两边长分别为1和4，可得第三边x的长度范围即可得出答案．
此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
10.【答案】120
【解析】解：根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于
故答案为：
根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
此题主要考查了旋转对称图形，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
11.【答案】直角
【解析】解：，
，
此三角形是直角三角形．
由三角形内角和定理和直角三角形的判定可知．
本题考查了三角形内角和定理．三角形的内角和是
12.【答案】8
【解析】解：设甲共检修管道x小时，
根据题意得，
解得，
所以，甲共检修管道8小时，
故答案为：
设甲共检修管道x小时，则乙检修管道小时，于是列方程得，解方程求出x的值即得到问题的答案．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示甲、乙两个各自检修管道的长度是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，四边形ABCD的内角和为，，
直尺的两边是平行线，
故答案为：
根据正五边形的性质，平行线的性质以及多边形的内角和的计算方法进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质，掌握正五边形的性质，平行线的性质以及多边形的内角和的计算方法是正确解答的关键．
14.【答案】3
【解析】解：是BC边的中点，
是的中线，
的面积的面积的面积，
的面积是10，
的面积，
：：2，
的面积：的面积：2，
方法一：的面积的面积；
方法二：设的面积是3x，则的面积为2x，
由的面积的面积的面积，
即，
解得，
则的面积
故答案为：
根据三角形的中线可以把三角形分成面积相等的2个三角形，可以求得的面积是的面积的一半，然后根据高相等的两个三角形的面积比=底的比，从而计算出的面积．
本题主要考查三角形的面积，其中找到所求的三角形面积与已知三角形的面积之间的关系是解题的关键．
15.【答案】解：，
，
，

【解析】方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，解方程时去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
16.【答案】解：
解①：，
得
解②得：，
原不等式组的解集是
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
解得
即这个多边形的边数为
【解析】多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
18.【答案】21
【解析】解：沿着BC的方向平移到，
≌，，
，
；
由可知：≌，
，
，
，
故答案为：
根据平移的性质得到，计算即可；
根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
19.【答案】解：设A、B两地之间的距离为x km，
根据题意得，
解得，
答：A、B两地之间的距离为
【解析】设A、B两地之间的距离为xkm，则小华从A地步行到B地用小时，从B地骑自行车返回A地用小时，于是列方程得，解方程求出x的值即可．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小华从A地步行到B地所用的时间及从B地骑自行车返回A地所用的时间是解题的关键．
20.【答案】解：，，且是的外角，
，
，
解得：；
，，

【解析】由三角形的外角性质可得，从而可求解；
结合利用三角形的内角和定理求解即可．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．
21.【答案】解：如图①，线段即为所求．
如图②，取CD的中点E，作直线BE，
则直线BE即为所求．
如图③，点P即为所求．

【解析】根据轴对称的性质作图即可．
取CD的中点E，作直线BE即可．
利用网格取格点P，使即可．
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：【问题解决】，
，，
【拓展应用】，
理由：
，，
，
，
即，
，
故答案为：
如图：
，，
，
，
，
，
又，
故答案为：
【问题解决】利用三角形外角进行计算即可．
【拓展应用】由三角形外角得，，故，即，再换算即可．
由三角形外角得，，故，又，再换算即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，轴对称图形，利用对称是解答关键．
23.【答案】7200
【解析】解：设A型号客车每辆的租车费用是x元，B型号客车每辆的租车费用是y元，
根据题意得：，
解得：
答：A型号客车每辆的租车费用是500元，B型号客车每辆的租车费用是800元；
①设租用A型号客车a辆，B型号客车b辆，
根据题意得：，
又，b都是非负整数，
或，
共有2种租车方案，
方案1：租用2辆A型号客车，8辆B型号客车；
方案2：租用13辆A型号客车，3辆B型号客车；
②选择方案1租车的总费用为元；
选择方案2租车的总费用为元
辆……人，辆，
可以租用9辆B型号客车，此时租车的总费用为元；
辆……人，辆，
可以租用20辆A型号客车，此时租车的总费用为元
，
租车的总费用最少为7200元．
故答案为：
设A型号客车每辆的租车费用是x元，B型号客车每辆的租车费用是y元，根据租车的总费用型号客车每辆的租车费用租用A型客车数量型号客车每辆的租车费用租用B型客车数量，结合表格中的数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
①设租用A型号客车a辆，B型号客车b辆，根据租用的客车的总座位数是490，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b都是非负整数，即可得出各租车方案；
②利用租车的总费用型号客车每辆的租车费用租用A型客车数量型号客车每辆的租车费用租用B型客车数量，求出①中2种租车方案的租车总费用，再求出单独租用A型客车或B型客车的租车总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②根据各数量之间的关系，求出各租车方案的租车总费用．
24.【答案】
【解析】解：当时，则，
，
，
故答案为：；
当时，
，
，
，
故答案为：；
当时，
，
，
，
；
过点C作，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
又
有以下三种情况讨论如下：
①当点E在线段BH上时，点E在的外部，
因此当与重叠部分为直角三角形时，CF与CH重合，如图1所示：
，
，
②当点E与点H重合时，点F与落在AB上，此时与重叠部分为，如图2所示：
此时，
③当点E在线段HA上时，此时与重叠部分为或的一部分，如图3所示：
，
综上所述：当与重叠部分为直角三角形时，的取值范围是：或
当时，则，根据可得的度数；
当时，则，根据可得的度数；
当时，则，根据可得的度数；
过点C作，则，根据可分为三种情况进行讨论：①当点E在线段BH上时，点E在的外部，因此当与重叠部分为直角三角形时，CF与CH重合，则，②当点E与点H重合时，点F与落在AB上，此时与重叠部分为，则，③当点E在线段HA上时，此时与重叠部分为或的一部分，则综上所述即可得出的取值范围．
此题主要考查了直角三角形的性质，角的计算，熟练掌握直角三角形的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．租用A型客车数量辆
租用B型客车数量辆
租车的总费用元
1
3
2900
3
2
3100