新高考数学三轮冲刺练习回归教材重难点03 数列（2份，原卷版+解析版）

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数列是高中的必学内容之一，是高考考察的重点知识之一。随着新高考的实行，高考数列试题在考察基础的基础上，更有数列与不等式，数列与函数，数列与解析几何，数列与实际生活相融合等等方面的试题，题型内容考察灵活多变，在考察基础公式，基础数学思想的同时，要求掌握相关内容以及综合素养，解决综合问题以及创新问题。试卷解答题一道，课标全国卷是与三角大题轮换出，新高考则是一道必考的大题，一般考察等差等比计算，数列求和，以及递推公式，以及简单的数列不等式证明。选填一般是一道或者两道小题，基础型则是等差等比数列计算为主，综合小题则与函数不等式等结合。
数列是高中知识的重要组成部分，综合性较强。需要学生掌握基础知识基础内容，还能够熟练运用这些公式与知识。等差等比计算，数列求和，数列递推公式求通项等等，试题有以下几方面的考察。
1.等差数列、等比数列通项公式和前n项和计算。
2.等差数列、等比数列的函数性质。
3.等差数列、等比数列的实际应用。
4.利用“裂项相消法”求和。
5.利用“错位相消法”求和。
6.利用“分组求和法”求和。
7.数列求和综合应用。
8.数列不等式恒成立。
9.数列不等式证明。
1.等差数列常用结论：
若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：
(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；
(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；
(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；
(4)数列{eq \f(Sn,n)}是公差为eq \f(d,2)的等差数列，其通项公式eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))；
2．等差数列与函数关系：
(1) an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)；
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
3．等比数列常用结论：
若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有：
(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；
(2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
4.等比数列与函数关系：
（1）数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
（2）数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。
（3）“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；
（4）“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
（5）“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
（6）等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
5．数列通项公式的几种求法：
(1)利用an与Sn的关系：递推作差，具体步骤如下：
①先利用a1＝S1求出a1；②利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an；③检验a1否符合an的表达式．
(2)累加法：形如an＝an－1＋f(n)或an－an－1＝f(n)，用累加法求an；
(3)累乘法：形如an＝an－1·f(n)或eq \f(an,an－1)＝f(n)，用累加法求an；
(4)配凑构造等比数列：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，用配凑法求an，具体步骤如下：
①设：an＋1＋x＝A(an＋x)；②求：x＝eq \f(B,A－1)；③配：an＋1＋eq \f(B,A－1)＝A(an＋eq \f(B,A－1))．
(5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况：
①形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋A) (A，B为常数)，等号两边同时取倒数，即可构造{eq \f(1,an)}等差；
②形如an＋1－an＋Aan＋1·an＝0，等号两边同时除以an＋1·an，即可构造{eq \f(1,an)}等差.
6.构造法求数列通项：
(1) 为常数）,构造等比数列；
(2) ,构造等差数列
7.求数列前n项和的方法
（1）形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
（2）.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
（3）.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
（4）.有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）
（5）.形如，多可以通过奇偶取，再二次消去，得到奇数项或者偶数项累加法（或者跳项等差等比数列）的通项公式
（6）对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；
8.裂项相消法：常用的裂项公式有：
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；②eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；③eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)；
④eq \f(2n,2n－12n＋1－1)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)；⑤eq \f(n＋1,n2n＋22)＝eq \f(1,4)×eq \f((n+2)2－n2,n2(n+2)2)＝eq \f(1,4)×[eq \f(1,(n+2)2)－eq \f(1,n2)]
9.数列周期性
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
一、单选题
1．已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（ ）
A．当时，的值最小B．当时，的值最大
C．当时，的值最小D．无最值
2．已知等差数列的前项和为，若，，则结论错误的是（ ）
A．数列是递减数列B．数列是等比数列
C．D．取得最大值时，
3．已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．等差数列的公差为d，前n项和为，设；是递减数列，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（ ）．
A．210B．445C．780D．1225
二、多选题
9．对于数列，把它连续两项与的差记为得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．数列为二阶等差数列
B．数列为三阶等差数列
C．数列的前n项和为
D．若数列为k阶等差数列，则的前n项和为阶等差数列
10．已知为数列前项和，则下列结论成立的有（ ）
A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，若，则
C．若数列为等差数列，其前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为
D．若数列的通项公式为，则该数列的前项和
11．已知数列满足，则（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．的前项和
D．的前项和
12．已知数列的首项，且满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有恒成立
B．当时，有恒成立
C．当时，有恒成立
D．当时，有恒成立
三、填空题
13．冰雹猜想是指：一个正整数，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题，已知正整数列满足，若存在首项，使得，已知，则___________.（写出一个满足条件的值即可）
14．已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为___________.
15．在数列中，，且递增，则___________．
16．已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于_________.
四、解答题
17．设数列的前项和为.已知，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
18．数列中，，，（）.
(1)试求、的值，使得数列为等比数列；
(2)设数列满足：，为数列的前n项和，证明：时，.
19．已知等差数列的公差，，其前项和为，且______．
在①，，成等比数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
20．已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前项和.
21．已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求数列的前项和.
22．在数列中，，且.
(1)证明：，都是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和，并比较与的大小；