四川省绵阳南山中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：卿小平 审题人：董文宝
本测评题分试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔填在答题卡的对应位置上；
2、选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色墨水签字笔.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 计算（ ）
A. B. C. D.
3. 已知相互垂直，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
5 化简（ ）
A. B. C. D.
6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B. 向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C. 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位
D. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位
7. 若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
8. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错项得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 零向量与任意向量都共线
B. 任意都有
C. 若向量与共线，则存在唯一实数，使
D. 若，则夹角为钝角
10. 下列式子成立有（ ）
A B.
C. D.
11. 已知，下列判断正确的是（ ）
A. 时直线为图象的一条对称轴
B. 若，且，则
C. 时将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D. 若在上恰有9个零点，则的取值范围为
12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在区间单调递增
B. 函数图象的对称轴为直线
C. 函数有5个零点
D.
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
13. 已知，与的夹角为，设与同向的单位向量为，则在上的投影向量为___________.
14. 已知向量，，，则与的夹角为______.
15. 在中，已知是方程的两个实根，则_________.
16. 已知函数的部分图象如图所示，且，则不等式的解集______________________.
四、解答题：共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在边长为2的等边中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，设.
（1）试用表示；
（2）求.
18. 化简：
（1）；
（2）.
19. （1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值.
20. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在下列两个问题中任选其一作答，若两个都作则按第一题给分.
①求的单调递增区间；
②求在时的值域.
21. 绵阳人民公园游乐场的摩天轮是众多儿童喜欢玩的项目，小朋友坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处欣赏市中心繁华地段的美景. 示意图如图所示，该摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径50米，设置有24个座舱（编号1号~24号），开启后按逆时针方向匀速旋转，小朋友在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要10分钟.
（1）小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）若小明、小强两人分别坐在1号和5号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值.
22. 如图，正方形ABCD的边长为，P，Q分别为边AB，DA上的动点，设，且.
（1）求的值；
（2）求的面积最小值；
（3），求实数的取值范围.