四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了考试结束后，仅将答题卡交回， 已知向量满足， 下列命题中错误的有， 已知等内容，欢迎下载使用。
数学
命题人：杜晓英 审题人：周莉莎 王秀容
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､班级､准考证号填涂在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，仅将答题卡交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知为平面上单位向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不必要又不充分条件
3. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）．
A. B.
C D.
5. （ ）
A. B. C. 1D.
6 已知，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
8. 中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上.
9. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
10. 如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）．
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C. 把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A. 的取值范围是
B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增
C. 在上的最小值不可能为
D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，是不共线的两个平面向量，已知，．若，，三点共线，则实数的值为______．
13. 已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为__________.
14. 已知函数，设，则等于__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.
15. 已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上.
（1）若，求此红旗图案的面积；
（2）求组成的红旗图案的最大面积.
18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
19. 已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．
（1）求的对称中心，
（2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值；
（3）设函数，证明：有且只有一个零点，且．
绵阳南山中学高2024级高一下期3月月考试题
数学
命题人：杜晓英 审题人：周莉莎 王秀容
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､班级､准考证号填涂在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，仅将答题卡交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦的差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】.
故选：B
2. 已知为平面上的单位向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不必要又不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】两边平方，结合是单位向量，求出，从而得到，故“”是“”的充分必要条件.
【详解】两边平方得，，
因为为平面上的单位向量，所以，
解得，
由于为平面上的单位向量，所以，
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C
3. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量在方向上的投影向量为.
故选：B
4. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算直接计算.
【详解】
由已知对角线与交于点，，
则，
所以，
故选：A.
5. （ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用诱导公式及正切和角公式得，即可求值.
【详解】由，且，
所以，
则.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可；
【详解】.
故选：A.
7. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，，数形结合后可得的最小值为点到射线的距离，再结合正弦定义计算即可得.
【详解】令，，则，故，
则，故的最小值为点到射线的距离，
即.
故选：B.
8. 中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知及向量共线的推论得，进而求的最大值即可.
【详解】由是的中点得，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当时，的最大值为1.
故选：C
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上.
9. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断.
【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同.
当时，和的长度相等；
当时，和的方向不一定相同，故A不正确；
对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确；
对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得；
当，时，则不存在实数，使得，故C不正确；
对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确.
故选：ABC.
10. 如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）．
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C. 把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求，再借助图象变换规则即可得出结果.
【详解】由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），
向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．
各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．
故选：AC
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为，属于中档题.
11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A. 的取值范围是
B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增
C. 在上的最小值不可能为
D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可得，求得即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得，函数与的图象在共9个交点，计算可判断D.
.
【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴，
因为，所以，所以，
所以，故A错误；
对于B：因为图象关于点对称，则，
即，因为，所以，
当时，，则在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，因为，
所以，所以在上的最小值小于，故C正确．
对于D：因为的图象关于直线对称，则，
即，又，所以，所以，
令函数根即为函数与的交点的横坐标，
作出图象如图所示，因为，，
要使有奇数个零点，则，
由，得，
函数与的图象在共9个交点，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，是不共线的两个平面向量，已知，．若，，三点共线，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量共线定理可得，进而可得结果.
【详解】\三点共线，则
所以
故答案为：
点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
13. 已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知可得，结合图象平移及对称中心得，即可求参数最大值.
【详解】函数的最小正周期，则，得，则，
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
要使该图象关于对称，则，所以，
又，当时，取得最大值，为.
故答案为：
14. 已知函数，设，则等于__________.
【答案】##
【解析】
【分析】应用诱导公式及辅助角公式得，结合题设有，即可求函数值.
【详解】，
，
，
，
，
.
故答案为：
四､解答题：本大题共5小题，共77分.
15. 已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；
（2）先求出，根据向量夹角关系即可求出.
【小问1详解】
由题可得，
，所以；
【小问2详解】
，
设和的夹角为，
所以.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由值求值，即可求出；
（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.
【小问1详解】
由，可得，
.
【小问2详解】
由 ，可得，
又，
，
，
由，可得.
17. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上.
（1）若，求此红旗图案的面积；
（2）求组成的红旗图案的最大面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由可得,,再根据可得,则,代入求解即可；
（2）设,则,,,代入中,根据三角函数性质求得最值.
【详解】（1）因为,所以,则,
因为,所以,
因为,
所以,
所以此红旗图案的面积为
（2）设,则,,
因为,所以,
则,
所以
,
因为,所以,
则当,即时,
取得最大值为
所以组成的红旗图案的最大面积为.
【点睛】本题考查三角函数在几何中的应用,考查正弦型函数的最值,考查运算能力.
18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
【答案】（1）,图象如图所示
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得；
（2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值；
（3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.
【小问1详解】
设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
在直角坐标系中作图如下：
【小问2详解】
依题意，是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
【小问3详解】
由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的图象性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
19. 已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．
（1）求的对称中心，
（2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值；
（3）设函数，证明：有且只有一个零点，且．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正切函数图像特征得出函数的周期，进而根据正弦型函数对称性求解即可.
（2）根据正弦型函数图象结构特征进行推理即可.
（3）将函数零点问题转化成方程问题，然后对进行合理地分类讨论.
【小问1详解】
因为函数的周期为，所以由题，所以，
又由图象关于直线对称，所以，即，所以，
所以，令，，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
当时，令，解得，
所以由图象特征可知，
若函数在上恰有8个零点，的最小值应为：
首尾均应是零点，
则的最小值为，
【小问3详解】
由（1）可得，定义域为，
①当时，函数在上单调递增，
因为，
所以，根据零点存在定理，使得，
故上有且只有一个零点.
②当时，因为单调递增，单调递减，
，，所以，
所以在上不存在零点；
③当时, 因为单调递增，，因为
所以，所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且.
因为，
所以，
所以，
在上单调递减，
，所以.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角函数型函数的图像特征，运用数形结合思想方法是灵活解决本题的关键.
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