陕西省咸阳市实验中学2024−2025学年高一下学期阶段性检测（一） 数学试卷（含解析）

这是一份陕西省咸阳市实验中学2024−2025学年高一下学期阶段性检测（一） 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的外接圆半径为（ ）
A．B．1C．D．
3．的虚部为（ ）
A．9B．C．D．
4．已知函数，则函数的减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．2D．3
7．已知，且为第三象限角.复数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．若、是小于180的正整数，且满足.则满足条件的数对共有（ ）
A．2对B．6对C．8对D．12对
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．在方向上的投影向量为
10．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，下列结论正确的是（ ）
A．一定是钝角三角形B．
C．角的最大值为D．
11．已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．在上的值域为
C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D．在上单调递减
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，且，则实数的取值范围为 .
13．若向量、满足，，，则 ．
14．如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数z满足：
(1)求复数z；
(2)求的值．
16．在中，角所对的边分别为．
(1)求；
(2)若，求的面积．
17．已知向量，且．
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值；
(3)若向量与互相垂直，求k的值．
18．已知是边长为2的等边所在平面内一点，是的中点，是的中点.
(1)当时，用，表示，，并求的值；
(2)若时，求的取值范围.
19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值；
(3)若，求实数的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以与向量同向的单位向量的坐标为：，
故选B.
2．【答案】C
【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理，
又，所以，
故，解得.
故选C.
3．【答案】B
【详解】,
所以的虚部为-7，
故选B
4．【答案】C
【详解】先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.
【详解】由解得或，
所以的定义域为.
函数的开口向上，对称轴为，
函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.
故选C.
5．【答案】D
【详解】
因为，故为的中点，而为外心，
故为直角三角形，且，
因为，所以，
而向量在向量上的投影向量为
.
故选D.
6．【答案】A
【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.
【详解】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，
即，∴.
故选A.
7．【答案】A
【详解】由且为第三象限角，可得，
所以，
可得，所以.
故选A.
8．【答案】A
【详解】根据、是小于180的正整数，确定，，结合正弦函数图像，分和两种情况讨论即可.
【详解】
解：、，所以，，结合观察正弦函数的图像，
满足的只可能以下两种情况：
（1）时，
或，
所以或.
（2）时，同样有，此时，但，
则，所以此时没有满足题意的整数对；
综合（1）（2），满足题意的有2对.
故选A.
9．【答案】ACD
【分析】对于A，借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对于B，借助数量积公式计算即可得；对于C，借助向量夹角公式计算即可得；对于D，借助投影向量的定义计算即可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，
故，即，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，、、均为正数，
由余弦定理有：，又因为，
所以为钝角，且角为最大角，A正确；
对于B，因为，
由正弦定理有：，
所以，
即，
整理有：，因为，
等式两边同除以，得：，所以B错误；
对于C，由余弦定理有：，又因为，
所以，
因为、、均为正数，所以，，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以，因为，所以，
所以角的最大值为，所以C正确；
对于D，，所以，
，所以，，
所以，所以，
由正弦定理可得：，所以D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】函数，满足,
可得的图象关于对称，故，即，
由于对任意，都有，
可得在处取得最小值，即，
可得，
则，化简得，
因为，当取最小值时，，可得，
则且，得，所以，
对于A，令，，解得，
则图象的对称中心为，故A正确；
对于B，当时，，可得，
所以在上的值域为，故B不正确；
对于C，将的图象向左平移个单位长度得到
的图象，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递减，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由题可得，，
因为，所以，解得.
13．【答案】
【详解】因为，，，
则，所以，，
所以，因此，.
14．【答案】 /
【详解】如图，在，，
由正弦定理，
又，
所以，即，
延长交于，则，
又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，
在中，，
又，
由正弦定理有，得到.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，而，即，
即，
则，解得，所以.
（2）
.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由余弦定理推论及得，
因为，则，
又因为，且，
所以，则．
（2）解法一：由（1）可知，
且，
，
由正弦定理，
得，
所以．
解法二：由（1），
所以，
由正弦定理，
得，
．
解法三 : 如图，过点作交于，
因为，则，
所以，，
所以．
17．【答案】(1)
(2)4
(3)或
【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为，
，解得，
所以向量与的夹角．
（2）．
（3）由向量与互相垂直得，，
所以，即，解得或．
18．【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）依题意
，
，
所以
.
（2）如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，
设，
所以，，
所以
，
因为，所以，
即.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以，即，
由正弦定理得.
所以.
（2）

由（1）知，所以的三个角都小于，
因为点为的费马点，所以.
由得：
，
整理得.
又因为，所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以的最大值为.
（3）由（2）知.
设，
由得.
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，
整理得.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，整理得，解得或者（舍去），
所以实数的最小值为.