陕西省安康市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试卷（解析版）

这是一份陕西省安康市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 函数的图象恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于函数（），令，即.
当时，.
所以函数（）的图象恒过定点.
故选：D.
2. 已知命题；命题，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】由于，则命题是假命题，是真命题；
命题是真命题，是假命题.
故选：B.
3. 有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ）
A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
【答案】A
【解析】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同，
所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形.
故选：A.
4. 在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】显然，函数在以上区间都连续.
，，，，，
由于，所以函数在区间内不一定存在零点.
由于，根据函数零点存在定理，函数在区间内一定存在零点.
由于，所以函数在区间内不一定存在零点.
由于，所以函数在区间内不一定存在零点.
综上所得，函数在区间内一定存在零点.
故选：B.
5. 已知，且是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在区间内，，.
已知和是方程的两根，
根据韦达定理有，.
因为，所以.
又因为，所以，则，所以，
又，即，解得.
故选：C.
6. 已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，解得或，
所以当时，（弧度），其为第二象限角；当时，（弧度），其不第二象限角，
又第二象限角的范围为，所以甲无法推出乙，乙也无法推出甲.
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
因此，，
则
，
所以.
故选：A.
8. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】正数满足，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知为锐角，角的始边均为轴正半轴，终边关于轴对称，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，不能确定的值，A选项错误；
对于B选项，由题意，
可得，是锐角，，，B选项正确；
对于C选项，由题意，
由可得，，选项C正确；
对于D选项，由，，，
两边平方，得到，，D选项正确.
故选：BCD.
11. 现定义：若对定义域内任意，都有，其中为正数，则称函数为“倍平移函数”，则（ ）
A. 函数为“3倍平移函数”
B. 函数不是“1倍平移函数”
C. 函数是“2倍平移函数”
D. 若函数是“2倍平移函数”，则
【答案】AD
【解析】对于A，因为，又，
由于上单调递增，所以，
所以函数为“3倍平移函数”，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以函数是“1倍平移函数”，故B错误；
对于C，因为，所以，
当时，，，即，
所以函数不是“2倍平移函数”，故C错误；
对于D，若，是“2倍平移函数”，
则，即对恒成立，
可得，
当时，可得，
整理得，所以，解得；
当时，可得，
整理得，所以，解得；
综上，，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】因，
所以
.
13. 已知函数，若和的图象与轴的交点完全相同，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为和的图象与轴的交点完全相同，则，
即，所以，解得，
又，所以的最小值为.
14. 已知函数，若，则的取值范围为__________，若恒成立，则的最大值为__________．
【答案】 6
【解析】函数的定义域为R，，函数是偶函数，
当时，令，函数在上单调递增，而函数是增函数，
因此函数在上单调递增，，
则，解得或，
所以的取值范围为；
，当且仅当时取等号，
，
不等式，
而，当且仅当，即时取等号，
因此，所以的最大值为6.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），
所以，或x≥4，
若，，所以.
（2）因为，所以，解得.
16. （1）求的值；
（2）已知，求的值.
解：（1）
.
（2）由可得，则，
所以，
所以.
17. 已知幂函数的定义域为．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明．
解：（1）因为是幂函数，所以，
解得或，
当，幂函数的定义域为，符合题意；
当，幂函数的定义域为，不符合题意；
所以，所以．
（2）在上单调递增，理由如下：
由（1）可得，
且，
所以，
因为，，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，所以在上单调递增.
18. 某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量．
（1）若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值；
（2）已知径流量，证明：．
解：（1）当时，，扩大，即，
因此，即，则，所以.
（2）当时，，
而，
又
，
所以，即原等式成立
19. 已知，函数，且在区间上单调递增．
（1）若，求曲线的对称轴与对称中心；
（2）当取最大值时，若，求的最小值；
（3）设函数，若对于任意的实数在区间上都不单调，求的取值范围．
解：（1）当时，，由在区间上单调递增，
得，解得，而，则，，
由，得；
由，得，
所以曲线的对称轴为，对称中心为.
（2）由（1）知，，，，
由，得，整理得，
因此，，解得，
则，所以的最小值是.
（3）由（1）知，，
而
，
由对于任意的实数在区间上都不单调，
得函数在上至少取到一个最大值和一个最小值，即，
解得，所以的取值范围是.