陕西省汉中市多校2024-2025学年高二上学期1月期末校际联考数学试题（解析版）

这是一份陕西省汉中市多校2024-2025学年高二上学期1月期末校际联考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线与直线平行，则实数（ ）
A. 2B. C. -2D.
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，所以，
故选：B.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】全集，集合，则，
故选：C.
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，
的圆心，半径，
所以，所以相离，
故选：C.
4. 一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，每位乘客都有种下车方式，
所以，乘客下车的可能方式共有种.故选：A.
5. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A：是正弦函数且为奇函数，且在区间上是增函数，故A符合题意；
对于B：是指数函数不是奇函数，故B不符合题意；
对于C：是二次函数，且为偶函数不是奇函数，故C不符合题意；
对于D： 是反比例函数且是奇函数，但在区间上是减函数，故D不符合题意.
故选：A．
6. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ）
A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.090
【答案】B
【解析】记现任取一件零件它是次品为事件，
则.
故选：B.
7. 在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】由题意，以为原点，分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，，
所以，
则，
不妨设平面的法向量为，
所以，不妨令，解得，
即取平面的法向量为，
所以点D到平面的距离为.
故选：D.
8. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】设，又，得，
即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆，
又过定点，又，所以P在圆外，
所以点到直线的距离的最大值为，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有7项B. 展开式中各二项式系数之和是
C. 展开式中第三项二项式系数最大D. 展开式中的常数项是20
【答案】AB
【解析】的展开式是，
其展开式共有7项，故A正确；
展开式中各二项式系数之和是，故B正确；
根据二项式系数的对称性和单调性可知：最大，即展开式的第四项的二项式系数最大，故C错误；
展开式的常数项是，故D错误；
故选：AB.
10. 已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（ ）
A.
B.
C. 可以作为空间的一个基底
D. 在上的投影向量的模长为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以或，故B错误；
对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线，
所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确；
对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确．
故选：ACD.
11. 已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（ ）

A. 飞船向径的取值范围是
B. 飞船在左半椭圆弧运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C. 飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D. 飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】ABD
【解析】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确；
当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应面积更大，
根据面积守恒规律，知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；
，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误；
根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大，
在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从二项分布，则_____.
【答案】
【解析】.
13. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，则的值为_____.
【答案】9
【解析】由题意得，，解得：.
14. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有_____种.
【答案】64
【解析】在、、、、、六个数字中，，
若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，
此时，不同的填数字的方法种数为，
所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.
同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.
因此，满足条件的放法种数为种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线的倾斜角为，且过点.
（1）求直线的方程；
（2）若以点为圆心的圆恰好与直线相切，求圆的标准方程.
解：（1）由题设，直线过点，
则直线为，整理得；
（2）圆心到直线的距离为，又直线与圆相切，
，故圆的标准方程为.
16. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
解：（1）因为函数的最小正周期为，且，则，
则，
由，
得，
所以，函数的递增区间为.
（2）当时，，
所以，函数在上单调递增，
所以，，，
因此，当时，函数的值域为.
17. 已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
解：（1）双曲线焦距为，
半焦距，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
一条渐近线方程为，即，
，得，
，
双曲线的方程为.
（2）设双曲线的左焦点为，则，
由双曲线的定义可知，，
，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故的最小值为.
18. 为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.
（1）求样本中学生分数的平均数（每组数据取区间的中点值）；
（2）假设分数Z近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数(结果四舍五入)；
（3）学校规定：分数在内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
（参考数据：若随机变量，
则）
解：（1）样本的平均数.
（2）分数Z近似服从正态分布，
即，
可得，
所以，
所以分数在内的学生数约为（人）.
（3）随机变量X的所有可能取值为
，
，
所以X的分布列为
，
因此X的数学期望为17.5分.
19. 如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，.
（1）证明：平面；
（2）若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值.
（1）证明：由题知，平面，，
故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
，，
，
，，平面，
平面.
（2）解：由题知，，
由（1）可知，为平面的一个法向量，
，，
设平面的法向量为，
则，，
令，得，
则，
二面角的正弦值为.分数
人数
10
15
45
20
10
X
10
15
20
P