陕西省商洛市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份陕西省商洛市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，则.
故选：B.
2. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论，
所以命题的否定为.
故选：C.
3. 是等式成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，成立.
当时，或，
所以由不能得出成立，
所以是等式成立的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. 32B. 8C. 2D. 1
【答案】C
【解析】根据分段函数的表达式可得：，
可得：.
故选：C.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，
所以，且函数在上单调递减．
由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，
由图可知，的解集是.
故选：B．
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，
又∵在上是单调递增函数，∴，所以.
故选：B.
8. 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时.
A. 20B. 22C. 33D. 24
【答案】D
【解析】由题知：，
所以，解得，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为偶函数
B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 在其定义域上单调递增
【答案】BCD
【解析】设，由的图象经过点，得，解得，所以.
选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误；
选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确；
选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确；
选项D，由在上是增函数，D正确.
故选：BCD.
10. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由，，且，则，所以，
若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，
且单调递减，又函数与关于y轴对称，
所以曲线为增函数，选项B符合条件；
若，则，曲线函数图象下降，即为减函数，
且单调递增，又函数与关于y轴对称，
所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件.
故选：BC.
11. 若正实数，满足，则下列说法正确是（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为正实数，满足，所以，
得到，当且仅当时等号成立，所以有最大值，故选项A正确，
对于选项B，取，此时，所以的最小值不是，故选项B错误，
对于选项C，，
当且仅当，即时等号成立，
故有最小值，所以选项C正确，
对于选项D，由选项A可得，
当且仅当时等号成立，故有最大值，所以选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________.
【答案】2
【解析】依题意，设扇形的圆心角为，
因为扇形的半径是，弧长为，
所以由，得，则.
13. ______.
【答案】
【解析】
.
14. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________．
【答案】(0，1)
【解析】由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，
，所以ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点.
（1）求；
（2）求的值.
解：（1）因为角的终边经过点，
由三角函数的定义知，
，
.
（2）由诱导公式，得
.
16. 设命题：实数满足；命题：实数满足.
（1）若，且为真，为假，求实数的取值范围；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）若，命题；
命题：，则，
因为为真，为假，所以的取值范围为，即.
（2）是的充分不必要条件，
命题；，命题：，则，
所以或，所以.
17. 已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，.
（1）求，的值；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）求函数的值域.
解：（1）由题意，为奇函数，为偶函数，
所以，即，
故恒成立，所以，
因为，即，
所以恒成立，所以.
（2）由（1）知，
所以定义域为，
因为，所以为奇函数.
（3），
因为，所以，所以，
所以，所以，
故的值域为.
18. 某地区在政策指导下，根据当地气候､土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求函数的解析式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
解：（1）根据题意知
，
整理得.
（2）当时，，
由二次函数的性质可知，在时，取得最大值，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
，的最大值是，
当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.
19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）证明：在上是凹函数；
（3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
解：（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，又，，
所以，所以，
所以在上的值域为.
（2）设，，，
则
，
∴，
∴当时，是凹函数.
（3），
设，，，则，，
由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为，
当，即时，单调递增，所以递增区间为，
由，，，
得的值域为，
因为为减函数，
所以，，
根据题意，的值域为的值域的子集，
从而有，所以.