2025年高考押题预测卷：数学（新高考Ⅱ卷02）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（新高考Ⅱ卷02）（解析版），共16页。试卷主要包含了设是数列的前项和，且，，则，函数的大致图象是，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z满足（是虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．－1B．1C．D．
【答案】B
【分析】可先设，利用复数相等计算，.
【详解】设，由得，
化简得：，故.
故选：B.
2．已知向量，，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知, 得出，即可求得.
【详解】因为向量，，且，
所以，即，解得.
故选：A.
3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，
故其最小正周期为，当时，在上单调递增，A是；
对于B，由A的分析同理可知的最小正周期为，
当时，在上单调递减，B不是；
对于C，的最小正周期为，在上单调递减，C不是；
对于D，的最小正周期为，D不是.故选：A
4．设是数列的前项和，且，，则
A．B．C．D．
【解析】，
，
，
是以1为首项，公差为2的等差数列，
，，，
，
．
故选：．
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
当时，，即，因此，故排除A.故选：D.
6．如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，将三棱锥放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长､宽､高的边长a，b，c的方程组，求解得，进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据球的体积公式即可求解.
【详解】解：由题意知，，则平面ADC，所以，
又，，所以平面ABC，将三棱锥放入对应的长方体中，如图：
易知，所以为直线AB与DC所成的角，
所以，解得.
设长方体的长､宽､高分别为a，b，c，则，，，
三式相加得，所以长方体的外接球的半径为，
所以该三棱锥的外接球的体积为.故选：C.
7．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案.
【详解】因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.

8．设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，得到，
因为，所以，令，g0=f0=0
所以，
因为，所以，所以为奇函数；
，当时，单调递减，因此在上单调递减；
，，
所以，
因为，所以
即，所以，
由于在上单调递减，所以，解之得. 故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设集合，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】求出集合以及，可判断出各选项的正误.
【详解】，
，
当时，为奇数，为偶数，
则，，，.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将集合、分别变形为，，结合两个集合中元素的表示形式来进行判断.
10．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若，时，，则的最小值为2
D．若方程有两个实根，则
【解析】对于：令，得，
△，
对于：所以方程有两个不相等的实数根，
所以函数有两个零点，故错误；
函数定义域为，
，
令得或，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以有极小值，极大值（2），故正确；
对于：当，，，
因为（2），且，，单调递减，
所以的最大值为2，故错误；
对于：作出函数的图象：
若方程有两个实根，则，故正确．
故选：．
11．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为2
C．若，则D．轴上存在一点，使为定值
【答案】D
【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点.
【详解】
A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，AB最短，即，从而，故A错误；
B选项，由抛物线的定义知，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误；
C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以，
所以，所以，所以，
联立得，得，从而，
所以，故C错误；
D选项，设，联立x=my+1y2=4x得，，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，设轴上存在一点，
则
，
故当时，，即存在使得为定值，故D正确.
故选：D.
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中项的系数为 ．
【解析】的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为，
故答案为：80．
13．若，，且为锐角，为钝角，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知，，，
所有，，得，
，且，得，，
，
因为，所以.
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 .
【答案】
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】分奖品在、和号箱里三种情况，根据全概率公式计算即可.
【详解】奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，
故；奖品在2号箱里，
主持人打开3号箱的概率为1，故；
奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，
故，由全概率公式可得：，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
(1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
(2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关
(2)
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、卡方的计算、独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）根据题意列出列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验的基本思想判定即可；
（2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可.
【详解】（1）由题意可得列联表：
，
没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关.
（2）由题意知，8人中男生人，女生人.
记“人中至少有1名男生”为事件，
则.
16．（15分）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】(1)作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到线线平行，得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，从而得到线面角的正弦值.
【详解】（1）连接，如图所示，

∵长方形中，，分别是，的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
又∵长方体中且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，得.
又∵平面，平面，
∴平面
（2）以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
设为直线与平面所成角，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，
（i）求证：为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）直接列出关于的方程组求解；
（2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出与的关系，从而得出是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得；
（ii）设，利用及椭圆方程求得，再求得后可得．
【详解】（1）题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为，
由，化简得，
同理.
所以是方程的两个不相等的实数根，
则.
又因为，所以，
所以.
（ii）证明：由（得，，设，则，即，
因为，所以，
得，即，
解得，
所以，
所以为定值.
18．（17分）已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，．
【解析】（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由（1）可得：，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则在定义域内恒成立，
故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减；
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减；
证明：（3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得．
由（2）知：在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，则，
令（a）（a），则当时恒成立，
故（a）在上单调递减，则（a）（3），
即（a）当时恒成立，
则（a）在上单调递减，则，
故．
19．（17分）若数列满足，则称为“螺旋递增数列”．
(1)设数列是“螺旋递增数列”，且，求和；
(2)已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由；
(3)设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)是“螺旋递增数列”，证明见解析；(3)存在，
【解析】（1）是以为首项，以4为公比的等比数列，
．
数列是“螺旋递增数列”，；
（2）数列是“螺旋递增数列”，证明如下：
因为，则，所以，
，则
所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，则．
数列的偶数项是以1为首项，2为公比的等比数列，则．
所以，故数列是“螺旋递增数列”．
（3）是以为首项，以2为公差的等差数列，
，又数列是“螺旋递增数列”，
故，
．
①当时，
，
又恒成立，恒成立，．
②当时，
，
，
又恒成立，恒成立，
综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是．
男
女
合计
十分关注
比较关注
合计