2024-2025学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列选项正确的是( )
A. (sin10°)′=cs10°B. (lg x)′=1x
C. [(2x+1)(2x−1)]′=8xD. (e−x)′=e−x
2.已知集合A={1,2,3,4,8}，B={x|x13∈A}，则∁A(A∩B)=( )
A. {1,2,3}B. {2,3,4}C. {3,4,8}D. {2,4,8}
3.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有( )
A. 25种B. 150种C. 300种D. 50种
4.“0b>0)的离心率为12，且过点(1,32)，其中O为坐标原点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过椭圆C1的右顶点作直线与抛物线C2：y2=2x相交于A，B两点；
①求证：OA⊥OB；
②设射线OA，OB分别与椭圆C1相交于点M，N，求O到直线MN的距离．
20.(本小题15分)
数列{an}满足：a1+3a2+5a3+…+(2n−1)an=3+(n−1)⋅3n+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2an(an−1)(an+1−1)，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn0y3+y4=−6nt3n2+4y3y4=3t2−123n2+4．
由①知OA⊥OB，
则OM⊥ON，有OM⋅ON=0．
因为OM=(x3,y3),ON=(x4,y4)，
所以x3x4+y3y4=(ny3+t)(ny4+t)+y3y4=(n2+1)y3y4+nt(y3+y4)+t2=0，
整理得：(n2+1)3t2−123n2+4+nt−6nt3n2+4+t2=7t2−12n2−123n2+4=0，
则有7t2=12(n2+1)．
则根据点到直线距离公式可得：点O到直线MN的距离为d=|t| n2+1= 12 n2+1 7 n2+1=2 217．
20.解：(1)已知数列{an}满足：a1+3a2+5a3+…+(2n−1)an=3+(n−1)⋅3n+1．
令n=1，a1=3，
又a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=3+(n−1)⋅3n+1(n≥1)，①
a1+3a2+5a3+⋯+(2n−3)an−1=3+(n−2)⋅3n(n≥2)，②
由①−②得到(2n−1)an=(n−1)⋅3n+1−(n−2)⋅3n=(2n−1)⋅3n，
即：an=3n(n≥2)，
经检验，n=1，a1=3也成立，
故数列{an}的通项公式an=3n, n∈N∗；
(2)bn=2an(an−1)(an+1−1)=2⋅3n(3n−1)(3n+1−1)=13n−1−13n+1−1，
Tn=b1+b2+⋯+bn=13−1−132−1+132−1−133−1+⋯+13n−1−13n+1−1=12−13n+1−1，
因为Tn=12−13n+1−1是单调递增数列，
则Tn