天津市滨海新区塘沽第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市滨海新区塘沽第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算 （ ）
A. 9×3B. C. 9×8×7D. 9×8×3
2. 函数,则的值为（ ）
A. 1B. -1C. 0D.
3. 下列求导运算正确的（ ）
A. B.
C. D.
4 展开后，共有多少项？（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 12
5. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. 7B. 21C. 35D. 42
7. 若函数在处有极大值，则（ ）
A. 5B. 3C. 1D. 0
8. 五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）
A. 12种B. 48种C. 72种D. 120种
9. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是 （ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共32分)
11. 已知，则______.
12. 已知物体的运动方程是（的单位是秒，的单位是米），则物体在时的速度______（m/s）
13. 已知函数则_____
14. 函数的单调递增区间为_______.
15. 求下列函数的导数：
（1）的导数为______；
（2）的导数为______．
16. 已知函数在R上是单调递增函数，则m的取值范围是________．
17. 将5个不同的小球放入三个不同的盒子内，且每个盒子至少放1个，则不同的放法有________种.
18. 已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.
三、解答题(共28分)
19. 已知函数．
（1）求单调区间；
（2）求函数的极值；
20. 已知函数，
（1）当时，求函数在上最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若曲线在点处切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围.
塘沽三中(高中)2024—2025年度第二学期月检测高二数学试卷
一、选择题(每小题4分，共40分)
1. 计算 （ ）
A. 9×3B. C. 9×8×7D. 9×8×3
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列数公式列式得解.
【详解】.
故选：C
2. 函数,则的值为（ ）
A. 1B. -1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】由即可求解.
【详解】，
所以.
故选：A
3. 下列求导运算正确的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本函数求导公式和导数的运算法则进行判断.
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误.
故选：B
4. 展开后，共有多少项？（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.
【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，
第一步，在第一个因式中选一项，有种方法；
第二步，在第二个因式中选一项，有种方法；
根据乘法分步原理可得，展开后共有项，
故选：
5. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小.
【详解】因为，
所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为.
故选：C
6. 已知，则（ ）
A. 7B. 21C. 35D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数性质 建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案.
【详解】由，则或，解得或，
所以.
故选：B.
7. 若函数在处有极大值，则（ ）
A. 5B. 3C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】求导，根据，可得，即可利用导数求解单调性验证极大值的定义，即可求解．
【详解】，
，
函数在处有极大值，
，即，解得，
当时，，
当和时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
是函数的极大值点，符合题意；
故选：C
8. 五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）
A. 12种B. 48种C. 72种D. 120种
【答案】C
【解析】
【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．
【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.
故选：C．
9. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的单调性确定导函数的符号，结合的符号即可判断.
【详解】由图可得：当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集是.
故选：B.
10. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果.
【详解】令，可得，
构建，
若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点，
因为，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，极大值，
且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0，
可得图象，如图所示：

由函数图象可得.
故选：A.
二、填空题(每小题4分，共32分)
11. 已知，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据组合数计算即可.
【详解】，解得或，
因为，所以.
故答案为：.
12. 已知物体的运动方程是（的单位是秒，的单位是米），则物体在时的速度______（m/s）
【答案】
【解析】
【分析】先求导,再应用路程的导数是速度,把代入导函数即可求解.
【详解】因为路程导数是速度,所以当时,.
故答案: .
13. 已知函数则_____
【答案】1
【解析】
【分析】先求的导函数，再令即可得到的方程.
【详解】因为函数则
当时，则，解得则
故答案为：1
14. 函数的单调递增区间为_______.
【答案】
【解析】
【详解】函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.
15. 求下列函数的导数：
（1）的导数为______；
（2）的导数为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用导数的积法则直接求导即可；
（2）利用导数的商法则直接求导即可.
【详解】（1）函数的导数y′=2x（lnx+sinx）+x2（+csx）=；
（2）y′=
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式和导数的运算法则是解决本题的关键．
16. 已知函数在R上是单调递增函数，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数单调递增，转化为恒成立，即可求解.
【详解】恒成立，
所以，解得：，
所以的取值范围是.
故答案为：
17. 将5个不同的小球放入三个不同的盒子内，且每个盒子至少放1个，则不同的放法有________种.
【答案】150
【解析】
【分析】分两步完成，第一步：分成二组，第二步：分配到3个盒子里，根据分步计数原理即可求出结果.
【详解】先把5个球分为或两组，再分配到3个盒子里，
故有种.
故答案为：150.
18. 已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.
【详解】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
当时，，在上递增，无极值.
当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
故答案为：；
三、解答题(共28分)
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求函数的极值；
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）极大值为，极小值为．
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）单调性求出函数的极值.
【小问1详解】
函数的定义域为，
又，
当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
【小问2详解】
由（1）可知当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
20. 已知函数，
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值是；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值；
（2）利用导数分类讨论函数的单调性；
（3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，所以，
令时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，所以在取得极小值，也是最小值，
，
又
.
在上的最大值为，最小值是；
【小问2详解】
当时，令，解得：，
令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，在上恒成立，
所以在上为减函数，
当时，在恒成立，
所以在上单调递减.
综上，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递减.
【小问3详解】
，依题意：，解得：，
所以，
又对恒成立，即，
所以在上恒成立.
令，
当时，函数单调递减，
当时 函数单调递增，
时，
故，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．