天津市滨海新区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份天津市滨海新区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题5分）
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.
【详解】选项A. ,故选项A不正确.
选项B. ,故选项B不正确.
选项C. ,故选项C不正确.
选项D. ,故选项D正确.
故选：D
2. 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ）
A. 24B. 16C. 13D. 48
【正确答案】C
【分析】利用分类加法计数原理，即可得答案.
【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有8+2+3=13种.
故选：C
本题考查分类加法计数原理的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
3. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）.
A. 1B. 3C. D.
【正确答案】D
【分析】由导数的几何意义可得的值，再由导数的概念即可得正确答案．
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是，
切点的横坐标为，
由导数的几何意义可得，
所以，
故选：D.
4. 已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意，根据导数与函数单调性的关系，可得答案.
【详解】由题意，可得在和上单调递减，在上单调递增，
只有选项A符合，
故选：A.
5. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A. 4B. 8C. 0D. -8
【正确答案】B
【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果.
【详解】直线斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
．
则．
故选：B．
6. 函数单调递增区间是 （ ）
A. 和B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求导，令，得出的范围即可得解.
【详解】，令，解得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：B.
7. 从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有
A. 个B. 个C. 个D. 个
【正确答案】B
【分析】分0在末位与2或4在末位两种情况讨论，利用分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，即可得出结论.
【详解】0在末位组成三位偶数有个；
0不在末位时，2或4在末位，组成三位偶数有个，
从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有个，故选B .
本题考查分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，属于中档题. 有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
8. 若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】函数在区间上单调递减，则导函数在区间上恒成立,分离参数，即可求解.
【详解】解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故，
所以，当时，导数不恒为0，
故选：D.
9. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）
A. 34种B. 48种
C. 96种D. 144种
【正确答案】C
【详解】试题分析：,故选C.
考点：排列组合.
10. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（ ）
A. 60B. C. 448D.
【正确答案】A
【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式应用赋值法计算求值.
【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，
则展开式通项公式是，
令，得，∴的系数为，
故选：A.
11. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ）
A. 2880种B. 1440种C. 720种D. 360种
【正确答案】B
【分析】先排4名青少年产生5个空位，再把甲､乙､丙插在5个空位即可.
【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选：B.
12. 已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解.
【详解】由函数，可得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又由函数在上单调递增，所以函数，
因为函数，，使得成立，
可得，解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、填空题（每小题5分）
13 若，则______.
【正确答案】190
【详解】则 ，所以
故答案为190
14. 已知函数，则___________.
【正确答案】2
【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．
【详解】由题意，所以．
故2．
15. 展开式中的常数项是 _______，二项式系数之和为 ________．
【正确答案】 ①. 672 ②. 512
【分析】第一空，先根据二项展开式的通项得到，令求出，进而求解即可；
第二空，根据二项式系数之和的公式求解即可．
【详解】第一空，二项展开式的通项为，
令，解得，则常数项为．
第二空，展开式的二项式系数之和为．
故672；512
16. 曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则_____.
【正确答案】0
【分析】结合求导公式求，由条件结合导数的几何意义列方程求.
【详解】由题意得，则，
因，
所以，
因为曲线与曲线在点处的切线互相垂直，
所以，
即，解得
故答案为.
17. 函数在处取得极值10，则___________.
【正确答案】
【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
因为在处取得极值10，可得，
解得或，
检验知，当时，可得，
此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；
当时，可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得极小值，符合题意.
所以.
故答案为.
解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
18. 如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是__________.

【正确答案】960
【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.
【详解】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为.
故答案为.
19. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，从而得到不等式，求出.
【详解】的定义域为，
，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故若函数在子区间上不单调，则，
解得，
故k的取值范围为
故
20. 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是_______．
【正确答案】
【分析】条件可转化为曲线与有且仅有一个交点，画出两曲线图象，观察图象可得结论.
【详解】因为函数有且只有一个零点，
所以方程有且仅有一个根，
所以曲线与有且仅有一个交点，
函数的定义域为，
函数的导函数为，
令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
当时，，
当时，，
当时，，
当，且时，，
画出函数，的图象如下，
观察图象可得或．
故答案为.
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21. 已知函数，且满足.
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值．
【正确答案】（1）；
（2）极大值极小值
【分析】（1）求出导函数，将代入求值即可；
（2）利用导函数分析函数单调性，得出极值点，计算得到极值.
【小问1详解】
由题意，则
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，，所以
令，则或.
所以，或时，， 单调递增；
时，，单调递减.
所以，函数在时取得极大值在时取得极小值
22. 已知函数在处取得极值0．
（1）求实数，的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
【正确答案】（1），；
（2）
【分析】(1)利用函数取得极值的条件，列出方程组，解之即可求解；
(2)利用导数求出函数在区间的最值，然后根据题意即可求解.
【小问1详解】
因为函数，
所以，
由题意可知：，即，解得，，经检验满足；
【小问2详解】
，
由得，
由题意，曲线与直线在区间，上恰有2个交点，
，，时，；
，时，，
所以在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，
而，， ，
又，．
23. 已知函数，，（是自然对数的底数）
（1）若在点处的切线方程为，求实数a的值
（2）求的单调区间
（3）若恒成立，求实数a的取值范围
【正确答案】（1）
（2）当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而求解a的值；
（2）结合导函数的解析式，分类讨论，确定函数的单调区间；
（3）把恒成立问题转化为恒成立，构造函数，求导，求最值即可求出a的取值范围.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
所以，又直线的斜率为，由导数几何意义得，解得.（本问也可直接把点代入直线方程直接求解）
【小问2详解】
因为函数的定义域为，且，
当时，，所以函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问3详解】
因为恒成立，即恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
记，则，令，得，
令，得，令，得，
列表如下：
所以函数的极大值也是最大值为，
由恒成立得，
所以.
24. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）已知函数，求单调区间；
（3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）的单调减区间为，单调增区间为
（3）
【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的正负求解的单调区间；
（3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
由得，，，，
所以在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，，
，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
【小问3详解】
由题可知，，
所以，，
设，，
则，令，解得，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
又，即，
所以.↗
↘