辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，集合，
则，有.
故选：C.
2. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A. x1，x2，…，xn的平均数B. x1，x2，…，xn的标准差
C. x1，x2，…，xn的最大值D. x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B
【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差.
故选：B.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，可得：，
若，则，
则“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
4. 若向量，且，则实数m的值为（ ）
A. －2B. －C. 1D. －2或1
【答案】D
【解析】因为向量，且，
所以，解得m=－2或1，故A，B，C错误.
故选：D.
5. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】因为，，
所以零点所在的区间，再计算的符号.
故选：C.
6. 函数的图象与函数的图象（ ）
A. 关于直线对称B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称D. 关于原点对称
【答案】A
【解析】的反函数满足，化简可得，
所以，因为反函数图象关于直线对称，
即与关于直线对称.
故选：A.
7. 已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于，，，由于点E是CD的中点，
所以，，，
故.
故选：B.
8. 已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，当时，有，
即，即，
令，则当时，，
则函数在上单调递减，
由，可得，
即，所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（ ）
A. A与B互斥B. A与B相互对立
C. C与D相互对立D. B与D相互独立
【答案】ABD
【解析】抽奖者从中任取一个球的样本空间为，
事件，事件，事件，事件，
且，则与互斥，且与互为对立事件，AB正确；
且真包含于，事件C与D不相互对立，C错误；
，，事件B与D相互独立，D正确.
故选：ABD.
10. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误，
对于B，因为，所以，设为的中点，连接，
则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍，
所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确，
对于C，由，得，化简得，
所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确，
对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误.
故选：BC.
11. 已知若方程有四个不同的解，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】作出函数的图象，如下图所示：
方程有四个不同的解，
则，，故A错误，C正确；
，所以，故B正确；
设，所以，
因为，所以，则，
则的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 为了快速了解某学校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的40%分位数为________kg.
【答案】48
【解析】这10个数从小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60，
因为，所以这10个数的40%分位数为，
所以这个学校学生体重的40%分位数约为48 kg.
13. 幂函数在上是减函数，则________.
【答案】
【解析】因为函数为幂函数，所以，
解得或，
当时，，在上为增函数，不符合题意；
当时，，在上为减函数，符合题意.
14. 不等式的解集为________.
【答案】
【解析】原不等式等价于，
令，则，所以，
因为，和在上单调递减，
所以函数在上单调递增，所以，所以原不等式的解集为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数.
（1）求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值；
（2）解不等式.
解：（1）因为是偶函数，所以对，都有，
即，
整理得，所以，，
令，则，
由可得，所以，
则，
所以函数在上单调递增，
结合奇偶性可得的单调减区间是，单调增区间是，
的最小值是.
（2）因为是偶函数，且在是增函数，
所以等价于，解得：，
所以不等式的解集是.
16. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有即
解得，，．
即甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率分别是，，.
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，
则
．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
17. 如图，在中，.
（1）若E是BD的中点，试用和表示；
（2）若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值.
解：（1）因为，所以，所以，
因为E是BD的中点，
所以.
（2）由，，得，，
因为，，
所以，
因为F，G，H三点共线，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
18. 某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）；
（2）从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率；
（3）根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择：
方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元；
方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图得B型电机该项指标的平均值为：
.
（2）根据分层抽样得，来自A型电机指标在和的各1台，分别记为x，y，
来自B型电机指标在和分别为3台和1台，分别记为，，和p.
从中任意抽取两件，样本空间可记为
，共15个样本点，
记事件M：指标在和内各抽取1件，
则共含3个样本点，
所以.
（3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元），
，，
所以当时，，当时，，
当时，.
综上所述，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一或二都行；
当临界值时，选择方案一.
19. 两个定义域相同的函数和，存在实数m，n，使，则称为和的函数.
（1）函数为和的函数，且.判断函数的图象是否有对称中心，并说明理由.
（2）函数为和的函数，且.
①判断单调性，并用单调性定义证明；
②证明：函数有且只有两个零点，，且.
解：（1），
因为，所以，
有对称中心，
理由如下：的定义域为，且，都有，
，
所以的图象关于中心对称.
（2），
因为，所以，
，定义域为，因为，
①在和都是单调递增函数，
证明：任取，，且，
，
因为，所以，，，所以，
所以在是单调递增函数，
同理，当时，，
所以在是单调递增函数.
②证明：因为，所以，，
取，
当时，，
当时，，即，
因为在是单调递增函数，若，则是在的唯一零点，
若，则，使得，
由单调性可得是在的唯一零点，
因为，都有，
且，
所以是的零点，由单调性可得是在的唯一零点，
综上所述，函数有且只有两个零点，，
因为，又，所以.