辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则实数( )
A. 2B. 1C. D.
3. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是( )
A. 18B. 7C. 6D. 2
4. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会(其中教师2份，学生3份)，现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是( )
A. B. C. D.
5. 下列函数中，其图像如图所示的函数为( )
A. B. C. D.
6. “北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P(单位：)与时间t(单位：天)间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数．令为之间海水稀释效率，其中，分别表示当时间为和时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即，，，分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高( )．
A Ⅰ期B. Ⅲ期C. Ⅲ期D. Ⅳ期
7. 已知，，且满足，则的最大值为( )
A 9B. 6C. 4D. 1
8. 已知定义域为D的函数，若，都，满足，则称函数具有性质．若函数具有性质，则“存在零点”是“”的( )
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多项选择题(本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．)
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则( )
A. A与C互斥B. B与D对立C. A与相互独立D. B与C相互独立
11. 已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是( )
A. 向量与可能平行B. 点P在线段EF上
C. D.
12. 已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题(本大题功4小题，每小题5分，共20分．)
13. ______．
14. 已知向量，满足，，，则实数______．
15. 在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm，女生的平均身高是165cm，则估计该校全体学生的平均身高是______cm．
16. 函数满足：，都有，则函数的最大值为______．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E，F两点不重合)．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
18. 已知集合，集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若，，且p是q的充分条件，求实数的取值范围．
19. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润中位数与平均数(结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表)；
(ⅱ)若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
20. 第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分(包括2分)，即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
21. 已知函数的定义域为R，其图像关于点对称．
(1)求实数a，b的值；
(2)求值；
(3)若函数，判断函数的单调性(不必写出证明过程)，并解关于t的不等式．
22. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数．
(1)若，求在上的最大值；
(2)设，，求的最小值，其中．
大连市2022～2023学年度第一学期期末考试
高一数学
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合B，再利用交集的定义运算即得.
【详解】因为，又，
所以.
故选：C.
2. 已知向量，，且，则实数( )
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】∵向量，，且，
∴，解得.
故选：D.
3. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是( )
A. 18B. 7C. 6D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设，，…，的平均数为，写出方差的表示式，同样地表示出所求的方差，利用两式的整体关系求解．
【详解】解：设，，…，的平均数为，方差
又易知，，…，的平均数为．
且，
所以其方差．
故选：A．
4. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会(其中教师2份，学生3份)，现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出基本事件的样本空间，再根据古典概型计算.
【详解】在5份优秀报告中，设教师的报告为 ，学生的报告为 ，从中随机抽取2份的样本空间为：
，
共10个，
恰好是学生，教师各一份的概率为 ；
故选：B.
5. 下列函数中，其图像如图所示的函数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，
对于A，，定义域为，，
所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；
对于B，，定义域为，故B错误；
对于C，，定义域为，故C错误；
对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.
故选：A．
6. “北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P(单位：)与时间t(单位：天)间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数．令为之间海水稀释效率，其中，分别表示当时间为和时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即，，，分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高( )．
A. Ⅰ期B. Ⅲ期C. Ⅲ期D. Ⅳ期
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点的斜率公式及函数图象的特点即可求解.
【详解】由题意可知，表示两点和间斜率绝对值，但函数的图象特点是递减同时后面会越减越慢.
故选：A.
7. 已知，，且满足，则的最大值为( )
A. 9B. 6C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1.
故选：D
8. 已知定义域为D的函数，若，都，满足，则称函数具有性质．若函数具有性质，则“存在零点”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据新定义寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若存在零点，令，
则，
因为，取，
则，且，
所以函数具有性质，但是，
故充分性不成立，
若，
因为函数具有性质，
取，则，使得
，
所以，所以存在零点，
故必要性成立，
综上所述：若函数具有性质，
则“存在零点”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．)
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是( )
A 若且，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D.
【详解】A中，时，则，错误；
B中，因为，，所以成立，正确；
C中，因为，，所以，，
所以，即，正确；
D中，由，可得，又，所以，正确.
故选：BCD.
10. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则( )
A. A与C互斥B. B与D对立C. A与相互独立D. B与C相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】根据互斥的意义判定A；利用对立事件定义判断B；
利用独立事件的概率公式判断C、D.
【详解】事件A：两枚骰子的点数之和为5，
则为(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)
事件C：表示“两枚骰子的点数相同，
则为(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)
故事件A与事件C互斥，所以A正确；
事件中与事件D会出现相同的情况，例如(2,1)(4,3)等
故事件中与事件D不对立，故B不正确；
事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”
事件D的对立事件表示“掷出的点数都是偶数点”
所以,,
所以
故C不正确；
,,
所以
故D正确；
故选：AD.
11. 已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是( )
A. 向量与可能平行B. 点P在线段EF上
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；
根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.
【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；
设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.
故选：BC.
12. 已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得，，所在区间，进而可判断ACD，由题可知，分别为，与直线的交点的横坐标，结合反函数的性质可判断B.
【详解】因为单调递增，又，，
所以，
因为单调递增，，，
所以，则，故A错误；
因为单调递增， ，
所以，又，所以，故C正确；
因为，，所以，，故D错误；
由，可得，
由，可得，
又函数与互为反函数图象关于对称，
作出函数，及的图象，
又与垂直，由，可得，
则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确.
故选：BC.
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题(本大题功4小题，每小题5分，共20分．)
13. ______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据对数的性质和公式计算即可.
【详解】原式.
故答案为：7.
14. 已知向量，满足，，，则实数______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实数的值.
【详解】解：已知向量，满足，，所以，
则，解得.
故答案为：1.
15. 在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm，女生的平均身高是165cm，则估计该校全体学生的平均身高是______cm．
【答案】168
【解析】
【分析】根据平均数的公式求平均数即可.
【详解】估计该校全体学生的平均身高为cm.
故答案为：168.
16. 函数满足：，都有，则函数的最大值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】先根据条件就出a和b，再运用换元法构造二次函数，运用二次函数求最大值.
【详解】令 ，则原条件转化为 ，即 是关于 的对称的，
，解得 ， ，
令 ， ，当 时，取得最大值，
；
故答案为：16.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E，F两点不重合)．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)3.
【解析】
【分析】(1)向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；
(2)根据(1)的结论，转化用，表示，
根据三点共线找出等量关系；
【小问1详解】
在中，由,
又，
所以，
所以
【小问2详解】
因为，
又，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，
即.
18. 已知集合，集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若，，且p是q的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或．
【解析】
【分析】(1)结合交集的定义和,分析求解即可；
(2)由题可知或，
再由已知可知，由此得出满足题意的不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，所以，所以；
【小问2详解】
或，
，，且p是q的充分条件
由已知可得，所以或，
所以或，
故实数m取值范围为或．
19. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表)；
(ⅱ)若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
【答案】(1)小吃类16家，玩具类4家；
(2)(i)中位数为342.9，平均数为352.5；
(2)128.
【解析】
【分析】(1)根据分层抽样的定义计算即可；
(2)(i)根据中位数和平均数的定义计算即可；
(ii)根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.
【小问1详解】
，，
所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.
【小问2详解】
(i)根据题意可得，解得，
设中位数为，因为，，所以，解得，
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.
(ii),
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.
20. 第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分(包括2分)，即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)由题可知两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，然后根据独立事件概率公式即得；
(2)由题可知甲得11分获胜有两类情况：甲获胜或甲获胜，然后结合条件根据独立事件概率公式即得.
【小问1详解】
设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，
若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，
所以；
【小问2详解】
设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，
甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；
甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.
21. 已知函数的定义域为R，其图像关于点对称．
(1)求实数a，b的值；
(2)求的值；
(3)若函数，判断函数的单调性(不必写出证明过程)，并解关于t的不等式．
【答案】(1)
(2)1011 (3)
【解析】
【分析】(1)根据对称性列方程解出a和b；
(2)根据对称性分组计算；
(3)构造函数，根据函数的单调性和奇偶性求解不等式.
【小问1详解】
有条件可知函数 经过点 ， ，即 ，
解得： ， ；
【小问2详解】
由于 ，
，
；
【小问3详解】
由于 是奇函数，根据函数平移规则， 也是奇函数，
并且由于 是增函数， 也是增函数， 也是增函数，定义域为
不等式 等价于 ，
即 ， ，由于 是增函数，
，解得 ；
综上，(1)；(2)；(3).
22. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数．
(1)若，求在上的最大值；
(2)设，，求的最小值，其中．
【答案】(1)在上最大值为
(2)的最小值
【解析】
【分析】(1)根据反函数的概念得，当，有，从而可得，由，可得，故结合基本不等式与二次函数即可求得在上的最大值；
(2)根据等价于，即，对进行讨论，验证的成立情况，从而可得函数的解析式，结合单调性确定其最小值取值情况即可。
【小问1详解】
解：因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，即与互为反函数，所以
当，有，
则，
又时，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号同时成立，所以在上的最大值为；
【小问2详解】
解：，
等价于，即，因为，
当时，恒成立，所以，
则，所以在上单调递增，所以；
当时，，此时当时，，当时，，所以，
在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，，当时，与上一种情况相同，所以；
当时，恒成立，所以，则，所以在上单调递减，所以；
综上，的最小值.
【点睛】本题主要考查了对数函数与基本不等式结合求解最值问题，以及绝对值不等式分类讨论，分段函数解析式问题与对数函数单调性综合应用，属于难题.在处理对数函数与基本不等式综合应用问题时，涉及不等式求乘积最大值问题，取等情况同时考虑基本不等式与二次函数；在解决分段函数讨论问题注意自变量，不等式的成立情况分、、几种情况分析，确定与的大小关系，从而确定函数的解析式，最后结合的单调性确定其最小值取值情况.