福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，将集合中的元素代入中，
可得.
故选：D
2. 设p：，q：，则p是q成立的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解不等式得：，即，显然，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：C
3. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
4. 若命题“，”是假命题，则不能等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题.
令，故，解得.
故选：D.
5. 已知若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 4C. 1或4D. 2
【答案】B
【解析】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.故选：B.
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，，为减函数，排除AD；
当时，，
当且仅当时，取得最小值2，故排除C.
B选项的图象符合题意.
故选：B.
7. 已知函数的定义域为R，若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】因为f1+x=f1-x，
所以，即f2+x=f-x，
又f-x=-fx，函数的定义域为R，
所以，是定义域为R的奇函数，所以，，
所以，，故，
所以是以4为周期的周期函数，
所以.
故选：A
8. 已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，．
又，
而
，
当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 不等式对任意的x，恒成立
C. 已知实数a，b满足，则
D. 若关于x的不等式的解集是，则
【答案】ABD
【解析】A选项中，，所以，即A选项正确；
B选项中，由，
知对任意的恒成立，所以B选项正确；
C选项中，若，代入，则结论不成立，所以C选项错误；
D选项中，知方程有两个根1和，
所以，且，所以符合要求，故D选项正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 在区间上单调递增
D. 集合的元素个数为4
【答案】ABD
【解析】对A，，故A正确；
对B，的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确；
对C，当时，，，根据单调递增，所以在单调递减，
又因为是奇函数，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，故C错误；
对D，得：，
当时，方程可化为，
因为，此时，方程的两根满足，可以说明，
所以当时，有两个不相等正根，
当时，方程可化为，
因为，此时，方程的两根满足，可以说明，
所以当时，有两个不相等的负根，
综上所述，方程有四个不相等的实数解，即集合有个元素，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数．若对于给定的非零常数m，存在非零常数T，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为T，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数是上的“2级类周期函数”，周期为1
B. 函数不可能是“m级类周期函数”
C. 已知函数是上周期为1的“m级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，则m的取值范围为
D. 若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，则n的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，对于函数，因为，
因为函数是上的“2级类周期函数”，
所以函数是上的“2级类周期函数”，周期为1，故A正确；
对于B，假设函数是“级类周期函数”，
则存在非零常数，使得成立，
即，整理得，
所以，解得，又因为，
所以函数不可能是“级类周期函数”，故B正确；
对于C，因为函数是上周期为1的“级类周期函数”，
所以，
因为当时，，
所以，
所以当时，
，
而，
因为在上单调递减，
所以，解得，
若，，与题意矛盾，
所以m的取值范围为，故C错误；
对于D，因为函数是上周期为2的“2级类周期函数”，
所以，
因为当时，，
所以当时，，故当时，恒成立，
当时，，
则，
此时，令，解得或，
当时，，
综上所述，对任意，都有，则n的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】因为，所以
所以
即所以不等式的解集为．
故答案为：．
13. 函数的单调减区间为______；
【答案】
【解析】令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或.
易知在上是减函数，在上是增函数，
而在上是增函数，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
14. 已知函数，，.若对，或，则的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】若，则，显然符合题意；
若，则时有，而为单调递增函数，
要满足题意则需，解之得；
若，则时有，而单调递减函数，要满足题意则需，显然恒成立；
综上所述：.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为R，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
解：（1）由题设，且或，
所以或或.
（2）由题意，显然集合非空，
所以，可得.
16. 设函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论；
（2）若，求函数的值域．
解：（1）函数在上单调递增；
证明：任取，且，
则
，
因为，所以，
所以，得，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，则，，
所以，
由（1）证明过程知，函数在上单调递减，
所以由复合函数的单调性可得，
函数在0,1上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，
显然，故，
所以函数的值域为：
17. 对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元.
（1）年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式；
（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？
解：（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元，
利润为，解得，
则.
（2）当，，，对称轴为，
则函数在，上单调递增，故当时，，
当，时，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.
18. 若实数满足，则称比远离.
（1）若2比远离1，求x的取值范围；
（2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由.
（3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由.
解：（1）根据题意可得：，
所以，解得；
（2）比更远离,
理由如下：要证比更远离,只要证，
即证，
因为，所以，
所以只要证，即证，
因为，所以，
所以，
所以比更远离；
（3）因为，当且仅当时等号成立，
所以，从而，
①，
，
即；
②时，，
，
即，
综上：，即比更远离.
19. 已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”．
（1）若函数是“类函数”，求实数的值；
（2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值；
（3）已知函数“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由．
解：（1）由题得，对于任意实数x，都有，
即，所以，
即，所以.
所以
（2）由题得，对于任意实数x，都有，
，，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
同理，，
对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；
由题得，
所以，.
（3）由题得，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在，使得函数.