【精心编制】第二十一章 一元二次方程单元章节检测试卷（解析版+原卷版+A3考试版）-2025-2026学年九年级数上同步练习（人教版）

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第二十一章 一元二次方程章节测试题（解析版）（考试时间：60分钟 满分100分）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（2024秋•鲤城区校级期中）用配方法解方程x2﹣8x+7＝0，则配方正确的是（　　）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．【详解】解：移项得x2﹣8x＝﹣7，配方得x2﹣8x+16＝9，所以（x﹣4）2＝9，故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．2．（2024•凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．12【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，∴a2﹣4＝0且a+2≠0，解得：a＝2，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2024春•阜南县期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）A．小张B．小王C．小李D．小赵【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【详解】解：∵x2﹣4x﹣5＝0，∴x2﹣4x＝5，则x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得x1＝5，x2＝﹣1，所以错误的是小赵，故选：D．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．4．（2020•安徽一模）如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　）A．30（1﹣x）2＝15B．15（1+x）2＝30C．30（1﹣2x）4＝15D．15（1+2x）2＝30【分析】设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据该公司9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：30（1﹣x）2＝15，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根中较大的根，则下面对a的估计正确的是（　　）A．0＜a＜12B．12＜a＜1C．1＜a＜32D．32＜a＜2【分析】利用公式法求出方程的根，可得结论．【详解】解：解方程2x2﹣2x﹣3＝0得：x=1±72，∵a是方程2x2﹣2x﹣3＝0较大的根，∴a=1+72．∵2＜7＜3，∴3＜1+7＜4，∴32＜1+72＜42．即32＜a＜2．故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是记住求根公式，属于中考常考题型．6．（2024•雅安模拟）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）A．4或5B．3C．41D．3或41【分析】先求出方程的解，再分为两种情况：①当直角边为4和5，②当4为直角边，5为斜边时，根据勾股定理求出第三边的长即可．【详解】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，分为两种情况：①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为42+52=41；②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为52−42=3，所以第三边长为3或41，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出方程的解是解此题的关键，用了分类讨论思想．7．（2022春•永嘉县校级期中）已知命题“关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0必有实数解”是假命题，则在下列选项中，a的值可以是（　　）A．4B．3C．2D．5【分析】根据一元二次方程x2+ax+2＝0有实数解，Δ＞0是假命题，得Δ＜0，得b2﹣4ac＜0，即可．【详解】解：∵x的一元二次方程x2+ax+2＝0必有实数解是假命题，∴Δ＜0，∴b2﹣4ac＜0，∴a2﹣4×1×2＜0，∴a2＜8，∴−22＜a＜22，故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．8．（2024秋•仓山区校级期中）已知实数a、b、c满足4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＜0则有（　　）A．b＜0，b2﹣4ac≥0B．b＞0，b2﹣4ac≤0C．b＞0，b2﹣4ac≥0D．b＜0，b2﹣4ac≤0【分析】根据4a+2b+c＝0，可以得到4a+c＝﹣2b，b=−4a+c2，再根据4a﹣2b+c＜0，即可得到b的正负，然后计算b2﹣4ac即可．【详解】解：∵4a+2b+c＝0，∴4a+c＝﹣2b，b=−4a+c2，∵4a﹣2b+c＜0，∴（4a+c）﹣2b＜0，∴﹣2b﹣2b＜0，∴﹣4b＜0，∴b＞0，∵b2﹣4ac＝（−4a+c2）2﹣4ac=16a2+8ac+c24−4ac=16a2+8ac+c2−16ac4 =(4a−c)24≥0，∴b2﹣4ac≥0，故选：C．【点睛】本题考查整式的加减、不等式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．9．（2020秋•红山区校级月考）在直角坐标系中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+n2+1）（m2+n2+3）＝8，则OP的长为（　　）A．5B．1C．5D．5或1【分析】OP2＝m2+n2，设t＝m2+n2，则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．【详解】解：设t＝m2+n2，则由原方程，得（t+1）（t+3）＝8，整理，得t2+4t﹣5＝0，即（t+5）（t﹣1）＝0，解得 t＝﹣5（舍去）或t＝1．∵P（m，n），∴OP＝m2+n2＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．10．（2025•禅城区二模）关于x的一元二次方程x2+x+c＝0的一个根为x1，设M＝（2x1+1）2，则M与方程根的判别式Δ之间的数量关系是（　　）A．M＝ΔB．M＝2ΔC．M=34ΔD．2M＝Δ【分析】先根据一元二次方程解的定义得到x12+x1＝﹣c，再利用完全平方公式得到M＝4（x12+x1）+1，所以M＝1﹣4c，接着计算根的判别式的值得到Δ＝1﹣4c，从而得到M＝Δ．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0的一个根为x1，∴x12+x1+c＝0，∴x12+x1＝﹣c，∴M＝（2x1+1）2＝4x12+4x1+1＝4（x12+x1）+1＝﹣4c+1＝1﹣4c，∵Δ＝12﹣4c＝1﹣4c，∴M＝Δ．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）11．（2024秋•潮阳区期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则x12−2x1−x2的值是 　1　 ．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12=x1+2，则x12−2x1﹣x2可化为2﹣（x1+x2），再根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x1是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，∴x12−x1﹣2＝0，∴x12=x1+2，∴x12−2x1﹣x2＝x1+2﹣2x1﹣x2＝2﹣（x1+x2），∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，∴x1+x2＝1，∴x12−2x1﹣x2＝2﹣（x1+x2）＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．12．（2024秋•牡丹区期中）若方程x2+m＝0有整数根，则m的值可以是　﹣1（或﹣4，﹣9，﹣16，﹣25，﹣36，……答案不唯一）　 ．（填一个可能的值）【分析】将原方程变形为x2＝﹣m，根据方程有整数根，即可得出﹣m为完全平方数，即可得出答案．【详解】解：x2+m＝0，∴x2＝﹣m，∵方程x2+m＝0有整数根，∴﹣m为完全平方数，∴m可以是﹣1（或﹣4，﹣9，﹣16，﹣25，﹣36，……答案不唯一），故答案为：﹣1（或﹣4，﹣9，﹣16，﹣25，﹣36，……答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是熟悉方程有根的条件．13．（2022春•东营区校级期中）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是 　①③　 （填序号）．【分析】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．【详解】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．14．已知关于x的一元二次方程3x2﹣2x−112m+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　m＞20　 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x−112m+2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（−112m+2）＞0，∴m＞20．故答案为：m＞20．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．（2024春•鄞州区校级期末）如果m，n是正实数，方程x2+mx+4n＝0和方程x2+4nx+m＝0都有实数解，那么m+n的最小值是 　5　 ．【分析】根据一元二次方程根的判别式可得出关于m和n的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题．【详解】解：因为方程x2+mx+4n＝0和方程x2+4nx+m＝0都有实数解，所以m2﹣4×4n≥0，（4n）2﹣4m≥0，则m2≥16n，n2≥14m．因为m，n是正实数，所以m4≥256n2≥64m，所以m4﹣64m≥0，即m（m3﹣64）≥0，所以m≥4，故m的最小值为4．又因为n2≥14m，则当m＝4时，n2≥1，所以n的最小值为1，所以m+n的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键．16．（2025春•莱阳市期中）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为 　4　 ．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，∴k−5≠0Δ=(−2)−5(k−5)×2≥0，解得：k≤112且k≠5．∵k为整数，∴k的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．17．（2025春•龙口市校级期中）暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价 　80元　 ．【分析】设每件文化衫的定价为x元，则每周的销售量为（150﹣5×x−6010）件，根据周销售利润＝每件的利润×周销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设每件文化衫的定价为x元，则每周的销售量为（150﹣5×x−6010）件，依题意，得：（x﹣40）（150﹣5×x−6010）＝5600，解得：x1＝80，x2＝320．∵售价不能超过进价的2倍，∴x≤80，∴x＝80．故答案为：80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（2025•姑苏区一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　3或1　 ．【分析】先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m方程，注意有两种情况．【详解】解：解方程得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，∴x1＝2，x2＝m，∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，则m﹣2＝1或2﹣m＝1，解得m＝3或m＝1．故答案为：3或1．【点睛】本题考查一元二次方程﹣因式分解法与根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．三．解答题（共46分）19．（16分）（2024秋•李沧区校级月考）按要求解下列一元二次方程．（1）x2﹣6x＝11（公式法）．（2）4x2﹣8x﹣3＝0（配方法）．（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x．（4）（x﹣2）（x﹣3）＝12．【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）x2﹣6x＝11，整理得，x2﹣6x﹣11＝0，a＝1，b＝﹣6，c＝﹣11，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣11）＝80＞0，∴x=6±802×1=3±25，∴x1=3+25，x2=3−25；（2）4x2﹣8x﹣3＝0，移项得，4x2﹣8x＝3，整理得，x2−2x=34，配方得，(x−1)2=74，∴x−1=±72，∴x1=1+72，x2=1−72；（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x，移项得，3x（x﹣1）+2x﹣2＝0，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2=−23；（4）（x﹣2）（x﹣3）＝12，去括号整理得，x2﹣5x﹣6＝0，（x+1）（x﹣6）＝0，∴x+1＝0或x﹣6＝0，解得x1＝﹣1，x2＝6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．（8分）（2023秋•北京期末）阅读下面的材料一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；②一方面大正方形的面积为（x+　5　 ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+　5　 ）2＝39+　25　 ，则方程的正数解是x＝　3　 ．根据上述材料，解答下列问题．（1）补全花拉子米的解法步骤②；（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 　①　 （填序号）．【分析】（1）根据已知算式和图形可得答案．（2）根据题意可得答案．【详解】解：（1）一方面大正方形的面积为（x+5）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+5）2＝39+25，则方程的正数解是x＝3．故答案为：5；5；25；3．（2）由题意可得，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是①．故答案为：①．【点睛】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（10分）（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t s，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，S△CPQ=425S△ABC？【分析】（1）若运动的时间为t s，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2t cm，PQ＝10cm，利用勾股定理，即可求出PQ的长；（2）若运动的时间为t s，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2t cm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S＝20t﹣4t2；（3）利用三角形的面积计算公式，结合S=425S△ABC，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．【详解】解：（1）若运动的时间为t s，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2t cm，∵∠C＝90°，PQ＝10cm，∴PC2+CQ2＝PQ2，即（20﹣4t）2+（2t）2＝102，解得t1＝3，t2＝5，答：当t为3秒或5秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；（2）若运动的时间为t s，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2t cm，∴S=12CP•CQ=12（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2，∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；（3）根据题意得：20t﹣4t2=425×12×20×15，解得t1＝2，t2＝3，答：当t为2秒或3秒时，S△CPQ=425S△ABC．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出PQ的长；（2）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出S；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（12分）（2024秋•兴文县期中）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；（2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证；（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；（3）分BC为腰和BC为底边两种情况进行求解即可．【详解】解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2）＝m2+2m+1﹣12m+24＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0；∴无论m为何值，方程总有两个实数根；（2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2），∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴BC2＝AB2+AC2，∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2）＝m2﹣4m+13＝25，解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）；∴m＝6；（3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0，∴m＝7，∴方程为：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5，∴等腰三角形的三边为：5，5，3，∴周长为：5+5+3＝13；②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根，∴Δ＝（m﹣5）2＝0，∴m＝5，∴方程为：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11；综上：周长为11或13．【点睛】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．