2025年中考数学专项复习专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23055" PAGEREF _Tc23055 \h 2
\l "_Tc32277" 模型1.倍长中线模型 PAGEREF _Tc32277 \h 2
\l "_Tc9313" 模型2.截长补短模型 PAGEREF _Tc9313 \h 10
\l "_Tc21267" PAGEREF _Tc21267 \h 20
模型1.倍长中线模型
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。
练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
证明：延长FE，交DC的延长线于点G。
∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）
若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。
例1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)A(2)；．
【分析】（1）延长到，使，连接，根据对顶角相等，即可利用“”证明，得到答案；（2）根据全等三角形的性质，得到的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案；
延长交的延长线于点H，先利用“”证明，得到，，进而得到的长，再证明垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，，
在和中，，，故答案为：A；

（2）解：，，，
，，，
，，故答案为：；
解决问题：如图，延长交的延长线于点H，
四边形是正方形，，为边的中点，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，垂直平分线的性质，利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键．
例2．（23-24辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由．
【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，
（1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到；
小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可；
（2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到；方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到．
【详解】解∶（1）小王同学的思路：
如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则．所以．

因为，所以．
因为，所以．所以，即是的中点
小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则．
所以，因为，所以．
因为，所以．
所以．所以，即是的中点；
（2）猜想方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，

则．所以．因为，
所以，．
所以．所以．
又因为，所以．所以．
方法2：如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，
则．所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以．所以．
因为，所以．所以．所以．
例3．（2024·江苏·九年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)见解析(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析
【分析】[问题情境](1)根据全等三角形的判定定理解答；(2)根据三角形的三边关系计算；[初步运用]延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；[灵活运用]延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根据勾股定理解答．
【解答】(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：A；
(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB−BE