山东省滕州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省滕州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 0或2
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，已知，则面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
7 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 9
二、多选题
9. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 若，，，则有两个解
C. 在中“”是“”的必要不充分条件
D. 若，则角
10. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则点P的轨迹长度为D. 若，则
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. 小球在内经过的路程为10cmD. 时，小球正在向上运动
三、填空题
12. 已知向量，，若，则________.
13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________.
14. 如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米．
四、解答题
15. 已知复数.
（1）求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
（2）若，试求实数、的值.
16. 已知向量，，其中.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求.
17. 已知函数．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值．
18. 在平行四边形中，是的中点，交于点，，，的夹角为.
（1）若，求值：
（2）当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围.
19. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.
（1）问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.
（3）求面积的最大值.
滕州二中2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测数学试题
一、单选题
1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 0或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值.
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的和角公式与诱导公式即可得到结果.
【详解】因为，故，
故.
故选：D.
3. 在中，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形面积公式计算.
【详解】.
故选：A.
4. 在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到向量，再利用向量减法的三角形法则表示出即可求解.
【详解】因为，所以，
则.
故选：A
5. 已知向量，则向量在向量上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模长的坐标运算求投影向量.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：D
6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】用射影定理即可化简求值.
【详解】如图所示，过点A作于点D，

则，
同理可证，
因为，所以，
整理得，因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
故选：D
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求．
【详解】因为，
所以
故选：C．
8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.
二、多选题
9. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 若，，，则有两个解
C. 在中“”是“”的必要不充分条件
D. 若，则角
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由正弦定理和倍角公式可得，再结合充分必要条件的定义即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果.
【详解】对于A，在中，由正弦定理知，，
结合大边对大角可得，故A正确；
对于B，因为，，，
由正弦定理，得，
由知，只有一解，所以有一个解，故B错误；
对于C，若，由正弦定理得：，
则，
因为，可知或，即或，
所以“”是“”的不充分条件，
若，则，，所以，
所以“”是“”必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，因为，
由余弦定理得：，即，
因为，所以或，故D错误.
故选：BD.
10. 已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则点P的轨迹长度为D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据为的中点，即可根据数量积的定义求解A，根据余弦定理即可求解B，根据圆的性质以及弧长公式即可求解C，根据勾股定理即可求解D.
【详解】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确，
对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，
对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，
对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，
故选：ABD
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 小球在内经过的路程为10cmD. 时，小球正在向上运动
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由函数周期可得，由时，小球位于最高点，可得，再由条件可得，然后结合正弦型函数的性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意，，，，
当时，小球位于最高点，则，，，故A，B正确；
对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误；
对于D，当时，由周期性，等价于，
此时，
由正弦函数的图像可知，图像自下而上穿过轴，小球正在向上运动，故D正确，
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知向量，，若，则________.
【答案】0
【解析】
分析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】，由于，
所以.
故答案为：0
13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解.
【详解】由，得，
由三点共线，得，而，
则，又不共线，因此，解得，
所以实数的值为.
故答案为：
14. 如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米．
【答案】
【解析】
分析】通过作出两条垂线，利用解直角三角形求出,再利用等角证明等边求出，再利用解直角三角形求出，最后可得高度.
【详解】
过点作,垂足为,过作,垂足为，
在直角中，,可得,
在直角中，,可得：,
在直角中，,可得：,
所以可得：,
,即,
所以,再由,
再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以,
即,
故答案为：.
四、解答题
15. 已知复数.
（1）求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
（2）若，试求实数、的值.
【答案】（1）复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简复数.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
（2）将代入方程，利用复数相等的条件即可求解.
【小问1详解】
因为.
则复数的实部为，虚部为，模长为，
表示复平面上的点的坐标为.
【小问2详解】
将代入方程得：，
∴，∴.
16. 已知向量，，其中.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到方程组，变形得到，结合，求出，从而得到；
（2）根据垂直得到，得到，结合角的范围得到，利用正弦和角公式得到答案.
【小问1详解】
由题意得，即，
则，即，，
因为，所以，
故，，
；
【小问2详解】
，
，
，
故
，
故，所以，，
又，，故，
，
则
.
17. 已知函数．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值．
【答案】（1）单调递增区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，再令，令和与取交即可得出答案；
（2）由求出，再由余弦定理求解即可
【小问1详解】
已知函数，
则，
令，
则，
因为，令，则；令，则，
即函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
已知，即，即，
又，则，即，
又，
由余弦定理可得，
又，则，则，.
18. 在平行四边形中，是的中点，交于点，，，的夹角为.
（1）若，求的值：
（2）当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以为基底表示出，再通过向量的数乘运算及加减运算表示出，可以得到的值，计算即可；
（2）利用向量的数乘运算表达点的位置，以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律，结合参数的范围计算即可.
【小问1详解】

如图，由题意，因为，所以，
且是的中点，即,
即,
.
【小问2详解】

当在上运动时，设，则,
，
，
，
又，.
当在上运动时，设，则，
，
又，
综上所述，的取值范围是
19. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.
（1）问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）时，四边形的面积取得最大值为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得，四边形的面积为与的面积和，表示面积即可得到结果.
（2）由定理得，取等号时，由余弦定理求出，即可得到.
（3）由正弦定理结合辅助角公式可求得的面积最大值.
【小问1详解】
在中由余弦定理得
，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为.
【小问2详解】
因为，
且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以.
【小问3详解】
设，（，所以为锐角），
在中，由正弦定理得，，
，
当，即时，的面积取得最大值为.