山东省聊城市莘县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省聊城市莘县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了 已知函数，则实数， 函数的单调递增区间是， 曲线在点处的切线方程为， 下列问题中，属于排列问题的有， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知函数，则实数（ ）
A 4B. 3C. D. 1
2. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 480种
3. 某班级要从5名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A. 14种B. 20种C. 30种D. 35种
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D. 和
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数，当x=m时函数取得极大值n，则m+n的值为（ ）
A. －2B. 2C. 0D. 1
7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A. 306B. 198C. 268D. 378
8. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1200种
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
9. 下列问题中，属于排列问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法
C. 平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线
D. 从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数
10. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A B.
C. D.
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 方程，的解为_______．
13. A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同选择种数是______.（用数字作答）.
14. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______.
四､解答题（本大题共5题）
15. 回答下面三个小题
（1）求函数的导数；
（2）求函数的导数；
（3）求值：（用数字作答）
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求的值；
（2）当时，求曲线在处的切线方程；
（3）当时，求曲线的极值.
17. 2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
（2）3名宇航员互不相邻的概率；
（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员概率.
18. 已知函数
（1）当时，求函数的极值.
（2）求函数单调区间.
19. 已知函数，，为函数的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若任意，恒成立，求a的取值范围．
2024-2025学年高二下学期第一次质量检测
数学试题
一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知函数，则实数（ ）
A. 4B. 3C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求导，利用即可.
【详解】因为，
所以，
则，
故选：B.
2. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 480种
【答案】A
【解析】
【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.
【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.
故选：A
3. 某班级要从5名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A. 14种B. 20种C. 30种D. 35种
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，选派的4人中有1名女生3名男生，或2名女生2名男生，然后利用分类加法原理求解即可
【详解】当选派的4人中有1名女生时，有种方案，
当选派的4人中有2名女生时，有种方案，
所以根据分类加法计数原理得共有：种不同的选派方案.
故选：C.
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解.
【详解】，解得：或，
所以函数的单调递增区间是和.
故选：D
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】，
所以函数在点处的切线方程为.
故选：A
6. 函数，当x=m时函数取得极大值n，则m+n的值为（ ）
A. －2B. 2C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数探讨函数的极值点、求出极大值即可计算作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，由得，
当时，，当时，，因此，函数在处取得极大值，
所以，则.
故选：C
7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A. 306B. 198C. 268D. 378
【答案】B
【解析】
【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可.
【详解】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式．
故选：B.
8. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1200种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用间接法，即可求解.
【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种），
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种).
因此满足题意的方法共有(种).
故选：C.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
9. 下列问题中，属于排列问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法
C. 平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线
D. 从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据排列的定义即可得到结果
【详解】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确；
对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误；
对于C，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误；
对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确．
故选：AD
10. 下列求导运算正确是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项逐个判断即可.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
11. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据原函数与导函数的图象关系依次判断选项即可.
【详解】对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为图象在处先负后正，的图象在处先减后增，
故B可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.
故选：ABC
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 方程，的解为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】由排列数公式直接得到关于的方程，解出的值，再代入检验得到答案.
【详解】因为，则且，则且
所以，
即，解得或（舍去）．
故答案为： 5
13. A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除A和参加同一科的情况即可得答案.
【详解】根据题意，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有种情况，
若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A和参加同一科的有种情况；
所以，满足题意的情况共有种.
故答案为：.
14. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.
【详解】函数的定义域为，导函数，
由已知有两个不相等的正实数根，
所以有两个不相等正实数根，
令，则，
由，得.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
又，，
当时，，当时，，
当时，，
由以上信息可得，函数的图象大致如下：

所以a的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题（本大题共5题）
15. 回答下面三个小题
（1）求函数的导数；
（2）求函数的导数；
（3）求值：（用数字作答）
【答案】（1）
（2）
（3）210
【解析】
【分析】（1）根据复合函数的导数公式，即可求解；
（2）根据复合函数的导数公式，即可求解；
（3）根据排列数和组合数公式，即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
由求导可得，
【小问3详解】
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求的值；
（2）当时，求曲线在处的切线方程；
（3）当时，求曲线的极值.
【答案】（1）
（2）
（3）极大值为，极小值为-2.
【解析】
【分析】（1）利用导函数的零点结合极值点的定义计算验证即可；
（2）利用导数的几何意义计算即可；
（3）利用导数研究函数的单调性，结合极值的概念列表计算即可.
【小问1详解】
，
由题意知，所以，即
当时，，
故在单调递增，单调递减，
故在处取得极值.
故；
【小问2详解】
由（1）可知.
当时，，
所以，
所以在处的切线方程为，即；
【小问3详解】
由（1）（2）可知，，
令，得或
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，
极小值为.
17. 2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
（2）3名宇航员互不相邻的概率；
（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.
【答案】（1）12 （2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用分步乘法计数原理以及排列数的计算求得排法数.
（2）利用插空法、排列数以及古典概型的知识求的所求概率.
（3）根据名航天科学家之间的人数进行分类讨论，利用古典概型的知识求得所求的概率.
【小问1详解】
第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，
所以总共有（种）.
【小问2详解】
先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种），
5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：.
【小问3详解】
①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，
故
18. 已知函数
（1）当时，求函数的极值.
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）极大值为，极小值为；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值；
（2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间
【小问1详解】
当时，的定义域为，
故，
令得或，
令得或，令得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，极小值为；
【小问2详解】
的定义域为，
，
当时，令得，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，此时恒成立，故单调递增区间为；
当时，，令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
19. 已知函数，，为函数的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若任意，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先对参数进行分类讨论，再利用导数求解单调性即可.
（2）利用分离参数法得到，再利用导数得到，最后得到参数范围即可.
【小问1详解】
因为，且定义域为，
所以，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得到，令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增；
当时在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即
故，在单调递增，而，
即，故.
1
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增