山东省聊城市东阿县实验高中2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市东阿县实验高中2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知函数则的值为， 若在上可导，，则， 已知实数分别满足，则， 已知函数，等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数定义和复合函数导数即可得到答案.
【详解】,
.
故选：A.
2. 若在上可导，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出导数，再代值计算即可得到，从而得到，最后再次代入计算即可.
【详解】由，可得，
所以，解得，
则，则
故选：B.
3. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围．
【详解】在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，，
，
函数在上是减函数，则，
所以，即
故选：A．
4. 已知函数为极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先对函数求导，然后分析两侧的符号，进而求出实数的取值范围.
【详解】由，
则，
令，则或，
当时， 在附近的符号是左正右正，故不是的极值点，不符合题意；
当时， 在附近的符号是左负右正，即是的极小值点，不符合题意；
当时，在附近的符号是左正右负，即是的极大值点，符合题意；
综上，的取值范围为，
故选：C.
5. 函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导函数的部分图象可得和的解集，进而可得函数的单调性，从而结合选项选择即可.
【详解】设的零点分别为，其中，
当时，，当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
只有选项B符合条件.
故选：B.
6. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A. 8万千克B. 6万千克C. 3万千克D. 5万千克
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，列出利润关于的函数，同时求得参数，再利用导数判断函数的单调性，从而求得函数取得最大值时对应的即可.
【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：，
故利润，，
种植3万千克，利润是，即，解得，
故，，则，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
故当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克.
故选：D.
7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解.
【详解】当时，令，则，所以在上单调递增，
当时，，即，
当时，，即，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
当时，，当时，，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解.
8. 已知实数分别满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果.
【详解】由可得，，则，
即，又，
所以，且，.
令，则，当时，恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，，所以.
所以，.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存在最大值，也不存在最小值B. 函数存在极大值和极小值
C. 函数有且只有1个零点D. 函数的极小值就是的最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可.
【详解】，则，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，如图，

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，
极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.
故选：BCD.
10. 函数，则（ ）
A.
B. 的单调递增区间为
C. 最小值为
D. 有两个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A，B，C，再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D.
【详解】已知，其定义域为.对求导可得：
，所以A选项错误.
令，因为（），所以，解得.
令，因为（），所以，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，B选项正确.
前面知在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值.将代入可得：
，C选项正确.
因为的最小值为，当趋近于时，趋近于，趋近于，
趋近于；当趋近于时，趋近于，趋近于，
趋近于.
又因为在上单调递减，在上单调递增，结合图象，
所以与轴有两个交点，即有两个零点，D选项正确.
故选：BCD.

11. 已知函数，则（ ）
A. 若，则有三个零点B. 若，则函数存在个极值点
C. 在单调递减，则D. 若在恒成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区
间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围.
【详解】对于选项A：若，，，由，得：，
当时，，得：在上单调递减；
当和时，，得：在和上单调递增；
所以函数有极大值，有极小值，
所以三次函数有三个零点，故A选项正确；
对于选项B，若，，
由，得有两个解，
当和时，，
在和上单调递增；
当时，，
上单调递减，
所以存在两个极值点，故B选项正确；
对于选项C，由题意可知：是解集的子集，
当时，显然恒成立；
当时，，由于，可得：，即；
综上可得：，故C选项错误；
对于选项D，当时，恒成立，
当，令，则，
令（），
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故，则；
当，令，则，
令（），
，
当时，，单调递增；
所以，则；
综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调减区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，利用导函数小于等于0，即可求解.
【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为，
故答案为：
13. 已知函数在处有极大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求导得，根据求得或，再分别检验即可.
【详解】由得，
∵在处取得极大值，∴，即，解得或，
当时，，
令，得或，令，得，
∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
∴在处取得极小值，故不满足题意，舍去，
当时，，令，得或，令，得，
∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
∴在处取得极大值，符合题意．
综上所述， ．
故答案为：.
14. 已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，得到切线方程得，结合条件得到，即可求解.
【详解】设切点为，因为，则，
则切线方程为，
将点代入，得，
化简得，即，
令，则恒成立，
所以在区间上单调递增，又时，，
所以的解为，所以切线的斜率为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
（3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可；
（2）利用第一问求的单调性判断最值；
（3）函数，解不等式即可.
【小问1详解】
，则，
因函数在处取得极值，
则，得，
此时，，
得或，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，故.
【小问2详解】
由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而，
则在区间上的最大值为和最小值.
【小问3详解】
令，则，
则与单调性相同，
因方程有三个不同的实数根，
则，得，
则实数的取值范围为.
16 已知函数．
（1）试讨论的极值；
（2）设，若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解
【小问1详解】
函数的定义域为，
．
当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．
当时，由，解得，故在上单调递增．
由，解得，故在上单调递减．
此时函数在处取得极大值．无极小值．
综上所述，当时，函数不存在极值．
当时，函数在处取得极大值，无极小值．
【小问2详解】
由（1）知当时，在上为增函数，
故无最大值，此时不符合题意；当时，．
易知在上单调递减，所以．
因为，，使得，
所以，即
解得，所以实数a的取值范围是．
17 已知函数（）.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再利用斜截式得到切线方程；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值.
【小问1详解】
当时，，则，所以，
则在处的切线方程为，即，
所以当时，函数在处的切线方程为．
【小问2详解】
函数，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，故函数的最小值；
当时，函数在上单调递增，故函数的最小值；
当时，函数的最小值.
综上可得.
18. 已知函数，且曲线在处与轴相切．
（1）求的值；
（2）令，证明函数在上单调递增；
（3）求的极值点个数．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）1个
【解析】
【分析】（1）求导，利用且即可求解，
（2）求导，由导数即可得函数的单调性，
（3）求导，根据到导函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【小问1详解】
，
由题意可知是在处的切线方程，
所以且，故
【小问2详解】
由（1）知，所以，
所以，
令，
当单调递增，当单调递减，
因此在单调递增，故，
所以函数在上单调递增
【小问3详解】
由（2）知: 当单调递增，当单调递减，
所以当时，取最小值，且，故存在，使得
因此当和当
因此在上单调递增，在上单调递增，在时单调递减，
由于，，
因此存在使得，
故当时， ，此时单调递减，当时，，单调递增，
故在时取极小值，
故有1个极值点.
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，证明：；
（3）函数有两个零点、，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立；
（3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、；
当时，对任意的，，
此时函数的增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
【小问2详解】
当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证.
【小问3详解】
，
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.